Question

如圖，在OABC中，點(diǎn)A在x軸上，∠AOC=60^o，OC=4cm．OA=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm／s的速度沿線段OA→AB運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，以acm／s的速度沿線段OC→CB運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是(______，______)，對(duì)角線OB的長(zhǎng)度是_______cm；
(2)當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大?   
(3)當(dāng)點(diǎn)P在OA邊上，點(diǎn)Q在CB邊上時(shí)，線段PQ與對(duì)角線OB交于點(diǎn)M.若以O(shè)、M、P為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，求a與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

（1）C(2，2)，OB=4cm（2），當(dāng)t=8時(shí)，S最大（3）a=1+ (0<t≤8)或a=1－ (6≤t≤8)

解：（1）C(2，2)，OB=4cm。
（2）①當(dāng)0<t≤4時(shí)，
過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D(如圖1)，

則QD=t。
∴S=OP·QD=t²。
②當(dāng)4<t≤8時(shí)，
作QE⊥x軸于點(diǎn)E(如圖2)，

則QE=2。
∴S =DP·QE=t。
③當(dāng)8<t<12時(shí)，
延長(zhǎng)QP交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AF于點(diǎn)H(如圖3)。

易證△PBQ與△PAF均為等邊三角形，
∴OF=OA+AP=t，AP=t－8�！郟H= (t－8)。
∴=t·2－t· (t－8)
=－t²+3t。 
綜上所述， 。
∵①②中S隨t的增加而增加，
③中，S隨t的增加而減小，
∴當(dāng)t=8時(shí)，S最大。   
（3）①當(dāng)△OPM∽△OAB時(shí)(如圖4)，

則PQ∥AB。
∴CQ=OP。
∴at－4=t，即a=1+。 t的取值范圍是0<t≤8。   
②當(dāng)△OPM∽△OBA時(shí)(如圖5)，

則， 即�！郞M=。
又∵QB∥OP，∴△BQM～△OPM。
∴，即。
整理得t－at=2，即a=1－，t的取值范圍是6≤t≤8。   
綜上所述：a=1+ (0<t≤8)或a=1－ (6≤t≤8)。
（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C、B分別作x的垂線于點(diǎn)M、N， 

則在Rt△COM中，由∠AOC=60^o，OC=4，應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，可求得OM=2，CM=2，
∴ C(2，2)。
由CMNB是矩形和OA=8得BM=2，
ON=10，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB=4。
（2）分0<t≤4，4<t≤8和8<t<12分別討論，得到函數(shù)關(guān)系式后根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求出S最大時(shí)t的值。
（3）分△OPM∽△OAB和△OPM∽△OBA兩種情況討論即可。