Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+（k-1）x+2k-1的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其中k是一元二次方程p²-p-2=0的根，且k＜0．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若直線l：y=mx（m≠0）與線段BC交于點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），則是否存在這樣的直線l，使得以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出該直線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由一元二次方程的解可知K值，從而可得二次函數(shù)的解析式，當(dāng)y=0時(shí)，所得x的值就是A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)．
（2）準(zhǔn)確運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比例關(guān)系，可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵k是方程p²-p-2=0的根，
∴k=-1，或k=2．
又k＜0，
∴k=-1．
∴此二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3．
令y=0得x₁=-1，x₂=3
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）假設(shè)滿足條件的直線l存在
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）
∴AB=4，OB=OC=3，∠OBC=45°
∴BC=3

2

要使以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，已有∠OBD=∠ABC，
則只需

OB

AB

=

DB

CB

①，或

OB

CB

=

DB

AB

②成立即可．
①當(dāng)

OB

AB

=

DB

CB

時(shí)
有BD=

OB•BC

AB

=

9 2

4

．
在Rt△BDE中，
DE=BD•sin45°=

9

4

，BE=BD•cos45°=

9

4

∴OE=OB-BE=3-

9

4

=

3

4

．
∵點(diǎn)D在x軸的下方，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

4

，-

9

4

）．
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入l：y=mx（m≠0）中，求得m=-3
∴滿足條件的直線l的函數(shù)解析式為y=-3x．

②當(dāng)

OB

BC

=

DB

AB

時(shí)
有BD=

OB•AB

BC

=2

2

同理可得：BE=DE=2，OE=OB-BE=3-2=1
∵點(diǎn)D在x軸下方
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-2）．
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y=mx（m≠0）中，求得m=-2
∴滿足條件的直線l的函數(shù)解析式為y=-2x．
∴綜上所述滿足條件的直線l的解析式是：y=-3x或y=-2x；
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

4

，-

9

4

）或（1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題要求數(shù)形結(jié)合，靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出直線解析式．綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生有較強(qiáng)的分析理解能力．