Question

如圖，以直角梯形OBDC的下底OB所在的直線為x軸，以垂直于底邊的腰OC所在的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，CD和OB的長是方程x²-5x+4=0的兩個(gè)根．
（1）試求S_△OCD：S_△ODB的值；
（2）若OD²=CD•OB，試求直線DB的解析式；
（3）在（2）的條件下，線段OD上是否存在一點(diǎn)P，過P做PM∥x軸交y軸于M，交DB于N，過N作NQ∥y軸交x軸于Q，則四邊形MNQO的面積等于梯形OBDC面積的一半？若存在，請說明理由，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出程x²-5x+4=0的兩根，可知CD=1，OB=4；分別用OC表示出△OCD與△ODB的面積，再求出比值；
（2）OD²=CD•OB即OD=2，過點(diǎn)D作DE⊥OB于E．可分別求出B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出過這兩點(diǎn)直線的解析式；
（3）直線OD的解析式為y=x，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)（a，b），N點(diǎn)縱坐標(biāo)為a，代入直線DB的解析式即可求出x的值．
解答：解：（1）由方程x²-5x+4=0解得
x₁=1，x₂=4，
即CD=1，OB=4；（2分）
S_△OCD=CD•OC=OC；
S_△ODB=OB•OC=2OC，
∴S_△OCD：S_△ODB=． （3分）

（2）∵OD²=CD•OB即OD=2．過點(diǎn)D作DE⊥OB于E．
點(diǎn)D（1，），點(diǎn)B（4，0），（4分）
∴設(shè)直線DB的解析式為y=kx+b，則有．
解得k=，b=，所求直線DB的解析式為y=x+．   （5分）

（3）存在點(diǎn)P，理由如下：（6分）
由題意，得
直線OD的解析式為y=x，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)（a，b），
∴N點(diǎn)縱坐標(biāo)為a，
∴a=x+．
∴x=4-3a，
∴（4-3a）×a=即12a²-16a+5=0．
∵（-16）²-4×12×5=16＞0，
∴解得a₁=，a₂=．
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（，）．                           （8分）
點(diǎn)評：此題比較復(fù)雜，把一次函數(shù)與一元二次方程，梯形的性質(zhì)相結(jié)合，使題目具有一定的綜合性，是一道好題．