Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），若將經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線y=kx+b沿y軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2．
（1）求直線AC及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如果P是線段AC上一點(diǎn)，設(shè)△ABP、△BPC的面積分別為S_△ABP、S_△BPC，且S_△ABP：S_△BPC=2：3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)⊙Q的半徑為1，圓心Q在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在⊙Q與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．并探究：若設(shè)⊙Q的半徑為r，圓心Q在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)r取何值時(shí)，⊙Q與兩坐軸同時(shí)相切．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線y=kx+b沿y軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)”，即可得到c-3=0，由此可得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A、C的坐標(biāo)即可求出直線AC的解析式；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸及A、C的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）由于△ABP和△BPC等高不等底，那么它們的面積比等于底邊的比，由此可求出AP、PC的比例關(guān)系，過(guò)P作x軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建的相似三角形的相似比即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）①此題要分成兩種情況討論：
一、⊙Q與x軸相切，可設(shè)出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式表示出它的縱坐標(biāo)，若⊙Q與x軸相切，那么Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即為⊙Q的半徑1，由此可列方程求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
二、⊙Q與y軸相切，方法同一；
②若⊙Q與x、y軸都相切，那么Q點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，可據(jù)此列方程求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到⊙Q的半徑．

解答：解：（1）∵y=kx+m沿y軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴m=3，C（0，3）．
將A（-3，0）代入y=kx+3，
得-3k+3=0．
解得k=1．
∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3．
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2
∴

9a-3b+c=0 - b 2a =-2 c=3

，
解得

a=1 b=4 c=3

；
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²+4x+3；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D．
∵S_△ABP：S_△BPC=2：3，
∴

1

2

AP•BD：

1

2

PC•BD=2：3
∴AP：PC=2：3．
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵PE∥CO，
∴△APE∽△ACO，
∴

PE

CO

=

AP

AC

=

2

5

．
∴PE=

2

5

OC=

6

5

，
∴

6

5

=x+3，
解得-

9

5

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-

9

5

，

6

5

)；

（3）（Ⅰ）假設(shè)⊙Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在⊙Q與坐標(biāo)軸相切的情況．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀）．
①當(dāng)⊙Q與y軸相切時(shí)，有|x₀|=1，即x₀=±1．
當(dāng)x₀=-1時(shí)，得y₀=（-1）²+4×（-1）+3=0，∴Q₁（-1，0）
當(dāng)x₀=1時(shí)，得y₀=1²+4×1+3=8，∴Q₂（1，8）
②當(dāng)⊙Q與x軸相切時(shí)，有|y₀|=1，即y₀=±1
當(dāng)y₀=-1時(shí)，得-1=x₀²+4x₀+3，
即x₀²+4x₀+4=0，解得x₀=-2，
∴Q₃（-2，-1）
當(dāng)y₀=1時(shí)，得1=x₀²+4x₀+3，
即x₀²+4x₀+2=0，解得x0=-2±

2

，
∴Q4(-2-

2

，1)，Q5(-2+

2

，1)．
綜上所述，存在符合條件的⊙Q，其圓心Q的坐標(biāo)分別為Q₁（-1，0），Q₂（1，8），Q₃（-2，-1），Q4(-2-

2

，1)，Q5(-2+

2

，1)．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀）．
當(dāng)⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切時(shí)，有y₀=±x₀．
由y₀=x₀，得x₀²+4x₀+3=x₀，即x₀²+3x₀+3=0，
∵△=3²-4×1×3=-3＜0
∴此方程無(wú)解．
由y₀=-x₀，得x₀²+4x₀+3=-x₀，
即x₀²+5x₀+3=0，
解得x0=

-5± 13

2

∴當(dāng)⊙Q的半徑r=|x0|=|

-5± 13

2

|=

5± 13

2

時(shí)，⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，三角形面積的求法，相似三角形的判定和性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)；需要注意的是（3）①所求的是⊙Q與坐標(biāo)軸相切，并沒(méi)有說(shuō)明是x軸，還是y軸，因此要將所有的情況都考慮到，以免漏解．