Question

【題目】當(dāng)一個(gè)角固定不變，而某種圖形在該角的內(nèi)部變化，則我們稱這個(gè)角為墻角．

（1）如圖1，墻角=30°，如果AB=3，長度不變，在角內(nèi)滑動(dòng)，當(dāng)OA=6時(shí)，則求出此時(shí)OB的長度．

（2）如圖2，墻角=30°，如果在AB的右邊作等邊，AB=3，長度不變，滑動(dòng)過程中，請求出點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離．

（3）如圖3，墻角=時(shí)，如果點(diǎn)E是一條邊上的一個(gè)點(diǎn)，=90°，其兩條邊與另一條邊交于點(diǎn)F與點(diǎn)D，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）過A點(diǎn)作OB的垂線AE，證明E點(diǎn)與B點(diǎn)重合即可求得OB的長；

（2）在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，AB長不變，∠AOB=30°不變，考慮到同弧所對的圓周角不變，所以構(gòu)造半徑為3且過AB兩點(diǎn)的圓O＇，易知O O＇=3，C O＇=，當(dāng)O、O＇、C三點(diǎn)共線時(shí)，得最值；

（3）過點(diǎn)F做FGOE與點(diǎn)G，過點(diǎn)D做DHOE與點(diǎn)H，根據(jù)=，不妨設(shè)FG=3a，DH=3b，則OG=4a，OH=4b，GH=4b-4a ()，證明∽，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解即可．

（1）如圖1，過A點(diǎn)作AE⊥OB，

∵∠O=30°，OA=6

∴AE=

又AB=3，AE⊥OB

∴B點(diǎn)與E點(diǎn)重合

∴

（2）如圖2，在C點(diǎn)的另一側(cè)作等邊三角形ABO＇，連接O O＇，連接O＇C交AB于點(diǎn)，則∠A O＇B=60°，以O＇為圓心，以3為半徑作圓，則A、B點(diǎn)在圓上，又因?yàn)椤?/span>AOB=30°=∠A O＇B，故O點(diǎn)在圓上，當(dāng)O、O＇、C三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)C的距離最大．

∵△ABC、△AB O＇為等邊三角形

∴四邊形AO＇BC為菱形

∴O＇C 與AB互相垂直平分，AD=，∠CAD=60°

∴CD=

∴O＇C=2CD=

∴當(dāng)O、O＇、C三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離為當(dāng)OO＇+O＇C

（3）如圖：過點(diǎn)F做FGOE與點(diǎn)G，過點(diǎn)D做DHOE與點(diǎn)H，

∴∠DHE=∠FGE=90°

∵=，設(shè)FG=3a，DH=3b，則OG=4a，OH=4b，GH=4b-4a ()

∵=90°

∴∠DEH+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°

∴∠DEH=∠EFG=

∴∽

∴

∴

即

∴

∵

∴

化簡后得到：

∵，

∴，

∴

∴

∵FG//DH，

∴===