Question

已知拋物線y=

1

2

x²-4x+2m（m+x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x₁，0），（x₂，0），若y1=x1+x2-

1

2

x1•x2

，
y₂=-m²+6m-4
（1）當(dāng)m≥0時(shí)，求y₁的取值范圍；
（2）當(dāng)m≤-1時(shí)，比較y₁與y₂的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：先把函數(shù)化為y=

1

2

x²-（4-2m）x+2m²的形式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁+x₂及x₁•x₂的值代入y₁的關(guān)系式，根據(jù)（1）中m≥0及不等式的基本性質(zhì)求解；
（2）根據(jù)m≤-1及不等式的基本性質(zhì)可分別求出y₁與y₂的取值范圍，再比較其大小即可．

解答：解：原函數(shù)可化為y=

1

2

x²-（4-2m）x+2m²的形式，
∴x₁+x₂=2（4-2m）=8-4m，x₁•x₂=4m²，
∴y₁=8-4m-

m2

，
（1）當(dāng)m≥0時(shí)，原函數(shù)可化為：y₁=8-5m，
∵m≥0，
∴5m≥0，-5m≤0，
∴8-5m≤8，即y₁≤8；
（2）當(dāng)m≤-1時(shí)，y₁=8-3m，
∵m≤-1，
∴8-3m≥11，即y₁≥11；
∵y₂可化為：y₂=-（m-3）²+5，
∵m≤-1，∴m-3≤-4，
∴（m-3）²≥16，
∴-（m-3）²+5≤-11，即y₂≤-11，
∴y₁＞y₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)₁的解析式，再由不等式的基本性質(zhì)即可解答．