Question

如圖，點(diǎn)P在雙曲線y=上，以P為圓心的⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切，E為y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，PF⊥PE交x軸于點(diǎn)F，則OF-OE的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用P點(diǎn)在雙曲線y=上且以P為圓心的⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切求出P點(diǎn)，再利用向量的垂直時(shí)的性質(zhì)列出OE與OF之間的關(guān)系即可．
作過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造全等三角形，尋找與結(jié)論或條件中有關(guān)聯(lián)的等量線段，從而逐步探究未知結(jié)果．
解答：解：法一：設(shè)E（0．y），F(xiàn)（x，0）其中y＜0，x＞0
∵點(diǎn)P在雙曲線y=上，以P為圓心的⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切
∴P（，）
又∵PF⊥PE
∴由向量垂直性質(zhì)可得×（-y）+×（-x）=0
∴x+y=2
又∵OE=|y|=-y，OF=x
∴OF-OE=x+y=2．
法二：設(shè)⊙P與x和y軸分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，連接PA、PB．則PA⊥x軸，PB⊥y軸．并設(shè)⊙P的半徑為R．

∴∠PAF=∠PBE=∠APB=90°，
∵PF⊥PE，
∴∠FPA=∠EPB=90°-∠APE，
又∵PA=PB，
∴△PAF≌△PBE（ASA），
∴AF=BE
∴OF-OE=（OA+AF）-（BE-OB）=2R，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（R，R），
∴R=，
解得R=或-（舍去），
∴OF-OE=2．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反比例函數(shù)及向量的綜合運(yùn)用，同學(xué)們要熟練掌握．