Question

如圖，矩形OABC中，AB=10cm，BC=20cm，P、Q兩點同時從A點出發(fā)，分別以1cm/s和2cm/s的速度沿A→B→C→O→A運動，當(dāng)Q點到達A點時，P、Q兩點立即停止運動，設(shè)運動時間為ts．
（1）當(dāng)t=7s時，求過O、A、Q三點的拋物線解析式．
（2）當(dāng)P、Q分別在AB邊和BC邊上運動時，為何值時，以Q、B、P三點為頂點的三角形與以C、O、B為頂點的三角形相似？
（3）設(shè)△OPQ的面積為S，試寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的范圍．
（4）在整個運動過程中，是否存在PQ⊥BO？若存在，求出直線PQ的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得BQ的長，則CQ的長即可求得，則Q的坐標(biāo)可得到，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)△COB是直角三角形，且BC=2OC，則當(dāng)BQ=2BP或BP=2BQ時，兩個三角形相似，首先利用時間t表示出BP和BQ的長，即可求得t的值；
（3）分當(dāng)t≤5時，當(dāng)5＜t＜10時，當(dāng)10≤t≤15時，當(dāng)15＜t＜20時，當(dāng)20≤t≤30時，幾種情況進行討論，利用三角形的面積公式即可求解；
（4）當(dāng)5＜t＜10時，P在AB上，Q在BC上時，PQ⊥BO能成立，此時：BP=2BQ，據(jù)此即可求得t的值；當(dāng)20≤t≤30時，P在BC上，Q在OA上，PQ⊥BO能成立，此時直線PQ與直線BO的斜率互為負倒數(shù)，即可求得t的值，其它的情況不可能出現(xiàn)垂直的情況．

解答：解：（1）∵OA=BC=20cm，
∴A的坐標(biāo)是（20，0），
當(dāng)t=7cm時，BQ=2×7-10=4cm，則CQ=20-4=16cm，
則Q的坐標(biāo)是：（16，10）．
設(shè)過O、A、Q三點的拋物線解析式是：y=ax²+bx+c，
根據(jù)題意得：

c=0 400a+20b+c=0 256a+16b+c=10

，
解得：

a=- 5 32 b= 25 8 c=0

則函數(shù)的解析式是：y=-

5

32

x²+

25

8

x；
（2）當(dāng)P、Q分別在AB邊和BC邊上運動時，BP=10-t，BQ=2t-10，
當(dāng)BP=2BQ時，10-t=2（2t-10），解得：t=6；
當(dāng)BQ=2BP時，2t-10=2（10-t）時，解得：t=7.5，
故當(dāng)t=6t或7.5t時，兩個三角形相似；
（3）當(dāng)t≤5時，P，Q都在AB上，AP=t，AQ=2t，則PQ=2t-t=t，則S=

1

2

×t×20=10t；
當(dāng)5＜t＜10時，P在AB上，Q在BC上，BP=10-t，BQ=2t-10，S=S_△OBQ+S_△OBP-S_△BPQ=

1

2

×20（10-t）+

1

2

×10（2t-10）-

1

2

（10-t）（2t-10）=t²-15t+100；
當(dāng)10≤t≤15時，P，Q都在BC上，BP=t-10，BQ=2t-10，則PQ=（2t-10）-（t-10）=t，則S=

1

2

×10t=5t；
當(dāng)15＜t＜20時，P在BC上，Q在OC上，CP=30-t，OQ=40-2t，則S=

1

2

（40-2t）（30-t）=t²-50t+600；
當(dāng)20≤t≤30時，P在BC上，Q在OA上，CP=30-t，OQ=2t-40，則S=

1

2

×10（2t-40）=10（t-20）=10t-200．
（4）當(dāng)5＜t＜10時，P在AB上，Q在BC上時，PQ⊥BO時，有BP=2BQ時，10-t=2（2t-10），解得：t=6；
當(dāng)20≤t≤30時，P在BC上，Q在OA上，CP=30-t，OQ=2t-40，PQ⊥BO時，有

10-0

(30-t)-(2t-40)

=-2，解得：t=25，
故當(dāng)t=6cm或25cm時，PQ⊥BO．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及三角形的相似，三角形的面積，正確進行分類是關(guān)鍵．