Question

（2013•宛城區(qū)一模）如圖，矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）．拋物線y=-

4

9

x²+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與AB邊交于點(diǎn)D．

（Ⅰ）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)，沿線段CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，沿線段AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位長度，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△CPQ的面積為S．
（1）求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求出t為何值時(shí)，S取得最大值；
（2）當(dāng)S最大時(shí)，從以下①，②中任選一題作答，若兩題都做只以第①題計(jì)分．
①在拋物線y=-

4

9

x²+bx+c的對(duì)稱軸l上，是否存在點(diǎn)F，使△FDQ為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；否則請(qǐng)說明理由．
②在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)F，使以C，P，Q，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；否則請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式
（Ⅱ）（1）根據(jù)勾股定理可求AC=10，過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)和三角形的面積公式可求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，再配方可求S的最大值；
（2）①根據(jù)直角三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理可求符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=-

4

9

x²+bx+c，得

c=8 -16+6b+c=0

，
解得

b= 4 3 c=8

．
故拋物線的解析式為y=-

4

9

x²+

4

3

x+8．

（Ⅱ）（1）∵OA=8，OC=6，
∴AC=

OA2+OC2

=10，
過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn)，
則sin∠ACB=

QE

QC

=

AB

AC

=

3

5

，
∴QE=

3

5

（10-t），
∴S=

1

2

CP•QE=

1

2

t•

3

5

（10-t）=-

3

10

t²+3t． 
∵-

3

10

t²+3t=-

3

10

（t-5）²+

15

2

，
∴當(dāng)t=5時(shí)，S取最大值

15

2

．

①在拋物線對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)F，使△FDQ為直角三角形，滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè)，
坐標(biāo)分別為F₁（

3

2

，8），F(xiàn)₂（

3

2

，4），F(xiàn)₃（

3

2

，6+

7

2

），F(xiàn)₄（

3

2

，6-

7

2

）．

②在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)F，使以C、P、Q、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，滿足條件的點(diǎn)F共有三個(gè)，
坐標(biāo)分別為F₁（3，9），F(xiàn)₂（3，-1），F(xiàn)₃（9，1）．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，勾股定理，三角函數(shù)和三角形的面積，函數(shù)的最值，直角三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．