Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2cm，BC=4cm，點P、Q分別從A、C兩點出發(fā)，點P沿射線AB、點Q沿BC的延長線均以1cm/s的速度作勻速直線運動．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）若P、Q同時出發(fā)，當AP的長為何值時，S_△PCQ是S_梯形ABCD的一半？
（3）設PQ交直線CD于點E，作PF⊥CD于F，若Q點比P點先出發(fā)2秒，請問EF的長是否改變？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）過A點作AG⊥BC，垂足為G，首先根據(jù)題干條件證明梯形ABCD是等腰梯形，然后在Rt△AFB中求出cosB的值，于是求出∠B的大小．
（2）首先求出AF的長和梯形ABCD的面積，再分類討論，①當0＜t≤2時，CQ=t，△CPD的高h=（2-t）×

3

2

，求出三角形PCQ的面積，最后列示求出t的值，②t＞2時，CQ=t，△CPD的高h=（t-2）×

3

2

，求出三角形PCQ的面積，最后列示求出t的值，
（3）設BC中點為H，連接AH，DH，作輔助線PX‖BC交CD于X，交AH為Y，根據(jù)條件證明△PXE∽△CQE，利用等腰梯形的性質求出PX和XE的長，利用FE=FX+XD即可證明EF是定值．

解答：解：（1）過A點作AG⊥BC，垂足為G，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2cm，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴BG=1，
∴cosB=

BF

AB

=

1

2

，
∴∠B=60°；

（2）在Rt△AGB中，
AG=

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×AG=3

3

，
設經過時間t（t≤2）后，S_△PCQ是S_梯形ABCD的一半，
CQ=t，△CPD的高h=（2-t）×

3

2

，
∴S_△PCQ=

1

2

CQ•h=

1

2

t•（2-t）×

3

2

，
當S_△PCQ是S_梯形ABCD的一半時，

1

2

t•（2-t）×

3

2

=

3 3

2

，
解得t不存在，
當t＞2時，
P點在AB的延長線上，
△CPD的高h=（t-2）×

3

2

，CQ=t，
當S_△PCQ是S_梯形ABCD的一半時，

1

2

t•（t-2）×

3

2

=

3 3

2

，
解得t=1+

7

s；

（3）設BC中點為H，連接AH，DH，
作輔助線PX∥BC交CD于Y，交AH為X，
顯然三角形APX是正三角形，AP=PX；
AYXD是平行四邊形，AD=XY．
由于PY∥BC，很容易得出△PYE∽△CQE，
又Q點比P點先出發(fā)2秒，均以1cm/s的速度作勻速直線運動，
就是說CQ比AP長2cm，
CQ=2+AP，
同時PX=XY+PX=AD+AP=2+AP，
∴CQ=PY，
∴PYE與CQE全等，YE=EC，
∵PY∥BC而梯形ABCD是底角為60度的等腰梯形，
∠FYP=60°，
∴FY=PY•cos60°=

1

2

PY=

1

2

（PX+XY）=

1

2

（AP+2）=

1

2

AP+1
∵PY∥BC，所以APXD也是底角為60°的等腰梯形AP=DX，且AP：PB=DX：XC，而XE=EC，
∴YE=

1

2

（DC-DY）=

1

2

（2-DY）=

1

2

（2-AP）=1-

1

2

AP，
FE=FY+YD=

1

2

AP+1+1-

1

2

AP=2，
故EF的長度不變．

點評：本題主要考查等腰梯形的性質和全等三角形的判定與性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握等腰梯形的性質和等邊三角形的性質，此題有一定的難度．