Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x₂-2x₁，求這個(gè)函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量m的取值范圍滿足什么條件時(shí)，y≤2m．

Answer 1

分析：（1）本題的突破口在于利用△．化簡(jiǎn)得出（m+2）²＞0得出△＞0．
（2）由求根公式得出x的解，由y=x₂-2x₁求出關(guān)于m的解析式．

解答：（1）證明：∵mx²-（3m+2）x+2m+2=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²．
∵當(dāng)m＞0時(shí)，（m+2）²＞0，即△＞0．
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2分）

（2）解：由求根公式，得x=

(3m+2)±(m+2)

2m

．
∴x=

2m+2

m

或x=1．（3分）
∵m＞0，
∴

2m+2

m

=

2(m+1)

m

＞1．
∵x₁＜x₂，
∴x₁=1，x2=

2m+2

m

．（4分）
∴y=x₂-2x₁=

2m+2

m

-2×1=

2

m

．
即y=

2

m

（m＞0）為所求．（5分）

（3）解：在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出y=

2

m

（m＞0）與y=2m（m＞0）的圖象．（6分）

由圖象可得，當(dāng)m≥1時(shí)，y≤2m．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道代數(shù)綜合題，綜合了一元二次方程、一次函數(shù)、用函數(shù)的觀點(diǎn)看不等式等知識(shí)．