Question

邊長為1的正方形ABCD內(nèi)接一個(gè)正方形EFGH，設(shè)AE=BF=CG=DH=x．
（1）求正方形EFGH的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）x為何值時(shí)，y有最小值？是多少？
（3）問這個(gè)函數(shù)y是否有最大值？如果有，最大值是多少？如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，設(shè)AE為x，則AH=1-x，根據(jù)勾股定理EH²=AE²+AH²=x²+（1-x）²，進(jìn)而可求出函數(shù)解析式即可；
（2）利用配方法求出二次函數(shù)的最值即可；
（3）利用自變量的取值范圍得出y的最大值即可．

解答：解：（1）∵根據(jù)正方形的四邊相等，四個(gè)角都是直角，且AE=BF=CG=DH，
∴可證△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
設(shè)AE為x，則AH=1-x，根據(jù)勾股定理，得
EH²=AE²+AH²=x²+（1-x）²
即y=x²+（1-x）²．
=2x²-2x+1；

（2）∵y=2x²-2x+1=2（x-

1

2

）²+

1

2

，
∴對(duì)稱軸是x=

1

2

，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y有最小值

1

2

；

（3）∵由題意可得出：自變量x的取值范圍是大于0小于1，
∴當(dāng)x=0或1時(shí)，y將取到最大值y=1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的最值求法以及二次函數(shù)的增減性以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出自變量的取值范圍，并且可以考慮求出函數(shù)的解析式．