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        1. (1997•廣西)已知拋物線y=-x2+bx-12與x軸相交于A(m,0)、B(n,0)兩點,其中m、n滿足(m-1)(n-1)-5=0(m≠n).
          (1)求拋物線的函數(shù)解析式;
          (2)畫出函數(shù)的圖象與對稱軸,設(shè)Q是拋物線的對稱軸上的任意一點,以Q為圓心,QB長為半徑作圓,過坐標原點O作⊙Q的切線OC,C為切點,求OC的長;
          (3)特別地,要使切點C′恰好在拋物線上,應(yīng)如何確定點C′的位置和圓心Q′的位置?簡述你的作法并在圖中把⊙Q′與切線OC′作出來(要求用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,寫作法,但不用證明).
          分析:(1)依題意知m、n是方程-x2+bx-12=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系可得出m+n及mn的值,再由m、n滿足(m-1)(n-1)-5=0(m≠n)可求出b的值,進而得出拋物線的解析式;
          (2)由(1)知,拋物線的解析式是y=-x2+8x-12,解方程-x2+8x-12=0可得出OA,OB的值,由點Q在拋物線的對稱軸上可知QA=QB,即點A在⊙Q上,根據(jù)
          切線長定理即可得出OC的長;
          (3)①以O(shè)為圓心,OC長為半徑作弧,交拋物線于C′,C′就是所求的切點.
          ②作AC′的垂直平分線交拋物線的對稱軸于Q′,點Q′就是所求的圓心.
          ③以Q′為圓心Q′B(或Q′C′,或Q′A)長為半徑作圓,作直線OC′,則OC′與⊙Q′相切于C′.
          解答:解:(1)∵依題意知m、n是方程-x2+bx-12=0的兩根.
          ∴m+n=b,mn=12,
          ∵(m-1)(n-1)-5=0.
          ∴mn-(m+n)-4=0,
          ∴12-b-4=0,
          ∴b=8,
          ∴拋物線的解析式是y=-x2+8x-12;

          (2)∵由(1)知,拋物線的解析式是y=-x2+8x-12,
          ∴解方程-x2+8x-12=0,得x1=2,x2=6
          ∴OA=2,OB=6(或OA=6,OB=2)
          拋物線的圖象如圖所示,
          ∵Q在拋物線的對稱軸上,
          ∴QA=QB.
          ∴點A在⊙Q上,
          ∵OC是⊙Q的切線,
          ∴OC2=OA•OB=2×6=12
          ∴OC=2
          3
          ;

          (3)作法:①以O(shè)為圓心,OC長為半徑作弧,交拋物線于C′,C′就是所求的切點.
          ②作AC′的垂直平分線交拋物線的對稱軸于Q′,點Q′就是所求的圓心.
          ③以Q′為圓心Q′B(或Q′C′,或Q′A)長為半徑作圓,作直線OC′,則OC′與⊙Q′相切于C′.
          點評:本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到韋達定理、切割線定理及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等相關(guān)知識,難度適中.
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          DB
          =
          DC
          ,以AD為直徑作⊙O交BA的延長線于E,交AC于F.
          (1)求證:AE=AE;
          (2)設(shè)AB=2,AC=7,求AE的長.

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