Question

已知：如圖，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c．點(diǎn)E是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、C不重合），點(diǎn)F是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合），連接EF．
（1）當(dāng)a、b滿足a²+b²-16a-12b+100=0，且c是不等式組的最大整數(shù)解時(shí)，試說明△ABC的形狀；
（2）在（1）的條件得到滿足的△ABC中，若EF平分△ABC的周長，設(shè)AE=x，y表示△AEF的面積，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用配方法把a(bǔ)²+b²-16a-12b+100=0整理為完全平方形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a、b的值；再解不等式組求出c的值，進(jìn)而判斷三角形的形狀；
（2）先由EF平分△ABC的周長，得到AE+AF的和為12，再利用三角函數(shù)求出AE邊上的高DF=0.8（12-x），然后根據(jù)三角形的面積公式得到△AEF的面積，進(jìn)而求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
解答：解：（1）∵a²+b²-16a-12b+100=0，
∴（a-8）²+（b-6）²=0，
∴a-8=0，b-6=0，
∴a=8，b=6．
∵，
解得-4≤x＜11，
∵c是不等式組的最大整數(shù)解，
∴c=10．
∵8²+6²=10²，即a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）如圖，過點(diǎn)F作FD⊥AC于D．
∵EF平分△ABC的周長，
∴AE+AF=（a+b+c）=12，
∵AE=x，
∴AF=12-x（2＜x＜6）．
∵sinA==0.8，
∴DF=sinA•AF=0.8（12-x）．
∴△AEF的面積=×AE×DF=x•0.8（12-x）=-0.4x²+4.8x（2＜x＜6）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了配方法，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，一元一次不等式組的整數(shù)解，三角形的周長與面積，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，難度中等，注意利用三角函數(shù)求出所需線段的長度是解題的關(guān)鍵．