Question

已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對角線的交點，一動點P從B開始，沿射線BC運動，連結DP，作CN⊥DP于點M，且交直線AB于點N，連結OP，ON。（當P在線段BC上時，如圖1：當P在BC的延長線上時，如圖2）

 （1）請從圖1，圖2中任選一圖證明下面結論：

        ①BN=CP：    ②OP=ON，且OP⊥ON

  (2)  設AB=4，BP=x，試確定以O、P、B、N為頂點的四邊形的面積y與x的函數關系。

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：如圖1，

①∵四邊形ABCD是正方形，

∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB。

∵DP⊥CN，∴∠CMD=∠DOC=90°。

∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°�！唷螩PD=∠CNB。

∵DC∥AB，∴∠DCN=∠CNB=∠CPD。

∵在△DCP和△CBN中，∠DCP=∠CBN，∠CPD=∠BNC，DC=BC，

∴△DCP≌△CBN（AAS）。∴CP=BN。

②∵在△OBN和△OCP中，OB=OC，∠OCP=∠OBN， CP=BN ，

∴△OBN≌△OCP（SAS）�！郞N=OP，∠BON=∠COP。

∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，即∠NOP=∠BOC=90°。

∴ON⊥OP。

（2）解：∵AB=4，四邊形ABCD是正方形，∴O到BC邊的距離是2。

圖1中，，

圖2中，。

∴以O、P、B、N為頂點的四邊形的面積y與x的函數關系是：

 。

【解析】正方形的性質，三角形外角性質，全等三角形的判定和性質，兩線垂直的判定，多邊形的面積的分解，函數解析式的確定，分段函數，點到直線的距離。

【分析】（1）對于圖1，證明線段相等，一般情況下找全等。根據BN，CP的分布情況 可以觀察△CNB和△DPC，然后證明兩三角形全等。也可以觀察△CAN和△DBP，證明AN=BP，從而有BN=CP。

對于圖2，證明如下：

①∵ABCD為正方形，AC，BD為對角線，∴∠DCP=90º。

             ∵CM⊥DP， ∴∠PCM=∠PDC。∴∠PDB=∠CAN。

             又∵∠DPB=∠ANC，BD=AC，∴△PDB≌△NCA（ASA）。

             ∴PB=AN，DP=CN�！郈P=BN。

             ②∵∠PDB=∠CAN，OD=OC， CP=BN，∴△PDO≌△NCO（SAS）。

             ∴OP=ON，∠DOP=∠CON。

             ∵∠DOC=90º，∴∠PON=∠NOC+POC=∠DOP+∠POC=∠DOC=90º�！郞P⊥ON。

（2）求以O、P、B、N為頂點的四邊形的面積，則要把四邊形分解為兩個三角形去解決問題。圖1中，S_{四邊形OPBN}=S_△OBN+S_△BOP，，；圖2中，S_{四邊形OBNP}=S_△POB+S_△PBN，代入求出即可。