Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作⊙P的正半軸交于點(diǎn)C．

（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（3）試說(shuō)明直線MC與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）y=-x2+x+2，（2）.（3）MC與⊙P的位置關(guān)系是相切．證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）求出半徑，根據(jù)勾股定理求出C的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=a（x-4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；

（2）求出M的坐標(biāo)，設(shè)直線MC對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程組，求出方程組的解即可；

（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和勾股定理分別求出PC、DC、PD的平方，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．

試題解析：（1）連接PC，

∵A（4，0），B（-1，0），

∴AB=5，半徑PC=PB=PA=，

∴OP=-1=，

在△CPO中，由勾股定理得：OC=

∴C（0，2），

設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=a（x-4）（x+1），

把C（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），

∴a=-，

∴y=-（x-4）（x+1）=-x2+x+2，

（2）y=-x2+x+2=-（x-）2+，

M（，），

設(shè)直線MC對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，

把C（0，2），M（，）代入得：

解得：，

∴.

（3）MC與⊙P的位置關(guān)系是相切．

證明：設(shè)直線MC交x軸于D，

當(dāng)y=0時(shí)，，

∴x=-，OD=，

∴D（-，0），

在△COD中，由勾股定理得：CD2=22+（）2=，

PC2=（）2=，

PD2=（+-1）2=，

∴CD2+PC2=PD2，

∴∠PCD=90°，

∴PC⊥DC，

∵PC為半徑，

∴MC與⊙P的位置關(guān)系是相切．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題