Question

直線y=-

3

4

x+6與坐標軸分別交于A、B兩點，動點P、Q同時從O點出發(fā)，同時到達A點，運動停止．點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線O→B→A運動．
（1）直接寫出A、B兩點的坐標；
（2）設點Q的運動時間為t（秒），△OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關系式；
（3）當S=

48

5

時，求出點P的坐標，并直接寫出以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）分別令y=0，x=0，即可求出A、B的坐標；
（2）因為OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，進而可求出點Q由O到A的時間是8秒，點P的速度是2，從而可求出，
當P在線段OB上運動（或0≤t≤3）時，OQ=t，OP=2t，S=t²，當P在線段BA上運動（或3＜t≤8）時，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于點D，由相似三角形的性質，得PD=

48-6t

5

，利用S=

1

2

OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S=

48

5

，求出t的值，進而求出OD、PD，即可求出P的坐標，利用平行四邊形的對邊平行且相等，結合簡單的計算即可寫出M的坐標．

解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0），B（0，6），

（2）∵OA=8，OB=6，
∴AB=10．
∵點Q由O到A的時間是

8

1

=8（秒），
∴點P的速度是

6+10

8

=2（單位長度/秒）．
當P在線段OB上運動（或O≤t≤3）時，
OQ=t，OP=2t，S=t²．
當P在線段BA上運動（或3＜t≤8）時，
OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，
如圖，過點P作PD⊥OA于點D，
由

PD

BO

=

AP

AB

，得PD=

48-6t

5

．
∴S=

1

2

OQ•PD=-

3

5

t2+

24

5

t．

（3）當S=

48

5

時，∵

48

5

＞

1

2

×3×6，∴點P在AB上
當S=

48

5

時，-

3

5

t2+

24

5

t=

48

5

∴t=4
∴PD=

48-6×4

5

=

24

5

，AP=16-2×4=8
AD=

82-( 24 5 )2

=

32

5

∴OD=8-

32

5

=

8

5

∴P（

8

5

，

24

5

）
M₁（

28

5

，

24

5

），M₂（-

12

5

，

24

5

），M₃（

12

5

，-

24

5

）

點評：本題需仔細分析題意，結合圖象，利用函數(shù)解析式即可解決問題．