Question

矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，0），C（0，-3），直線y=-

3

4

x與BC邊相交于D點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax2-

9

4

x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求此拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱軸；
（3）設(shè)（2）中的拋物線的對(duì)稱軸與直線OD交于點(diǎn)M，點(diǎn)P為坐標(biāo)軸上一動(dòng)點(diǎn)，以P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）當(dāng)（3）中符合條件的△POM面積最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)O的直線l將其面積分為1：3兩部分，請(qǐng)直接寫出直線l的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=-

3

4

x與BC邊相交于D點(diǎn)，可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-3，代入函數(shù)解析式可得出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出a的值，繼而可得出對(duì)稱軸；
（3）由（2）可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入解析式可得出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，結(jié)合圖形可得，只要滿足△POM是直角三角形，即可滿足條件，從而尋找符合題意的點(diǎn)P即可；
（4）過(guò)原點(diǎn)的直線，只要過(guò)線段MP₄四等分點(diǎn)H、G即可．

解答：解：（1）∵D是直線y=-

3

4

x與BC的交點(diǎn)，
∴可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-3，
從而可得D的坐標(biāo)為（4，-3）；

（2）點(diǎn)A（6，0）代入y=ax²-

9

4

x，得0=36a-

9

4

×6，
解得：a=

3

8

故拋物線的表達(dá)式為：y=

3

8

x2-

9

4

x；
從而可得對(duì)稱軸是直線x=3；
（3）
點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，代入直線求得M（3，-

9

4

），
對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)P₁符合，P₁（3，0），
過(guò)M作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)P₂，則P₂符合條件，
解得P₂（0，-

9

4

），
過(guò)M作OM的垂線分別交x軸y軸于點(diǎn)P₃、P₄，
則P₃（

75

16

，0），P₄（0，-

25

4

）．

（4）由（3）可得△OMP4的面積最大，
則只要直線過(guò)MP₄的四等分點(diǎn)即可將三角形面積四等分，
直線MP₄經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3，-

9

4

），點(diǎn)P₄（0，-

25

4

），
故直線MP₄的解析式為：y=

4

3

x-

25

4

，
線段MP₄的三等分點(diǎn)有兩個(gè)，分別為H、G，
，
則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為

3

4

，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為

9

4

，
故可得點(diǎn)H的坐標(biāo)為（

3

4

，-

21

4

），點(diǎn)G坐標(biāo)為（

9

4

，-

13

4

），
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)O、點(diǎn)H時(shí)，直線解析式為y=-7x；
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)O、點(diǎn)G時(shí)，直線解析式為y=-

13

9

x．
綜上可得直線解析式為y=-7x或y=-

13

9

x．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積、二次函數(shù)的對(duì)稱軸，解答本題的關(guān)鍵要求同學(xué)們能將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通．