Question

在矩形ABCD中，AB=1，AD=

3

，AF平分∠DAB，過點(diǎn)C作CE⊥BE于E，延長AF、EC交于點(diǎn)H，那么下列結(jié)論：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

（多填或錯(cuò)填的得0分，少填的酌情給分）

Answer 1

分析：根據(jù)勾股定理求出AC，推出∠ABO，得到等邊三角形AOB，推出OA=AB=OB，∠ABO=∠BAO=∠AOB=60°，求出AB=BF，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出BF=AB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠H=∠HAC，推出AC=CH，AF≠FH，根據(jù)矩形性質(zhì)推出DE=OE=

1

2

OD即可求出答案．

解答：解：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，∠BAD=∠ABC=90°，AO=OC，OD=OB，AC=BD，
∴AO=OB=OD，
∵AB=1，AD=

3

，由勾股定理得：AC=2，
∴∠ABD=60°，
∴△ABO是等邊三角形，
∴AB=OA=OB，∠BAO=∠AOB=60°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BF=AB=OB，∴②正確；
∵CE⊥BD，∠DOC=∠AOB=60°，
∴∠ECO=30°，
∵∠FAC=60°-45°=15°，
∴∠H=∠ACE-∠CAF=15°=∠CAF，
∴AC=CH，∴③正確；
∵CF和AH不垂直，∴AF≠FH，∴①錯(cuò)誤；
∵∠CEO=90°，∠ECA=30°，
∴OE=

1

2

OC=

1

2

OD=DE，
BE=3DE，∴④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．