Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC的直角邊AC與Rt△DEF的直角邊DF在同一條直線(xiàn)上，且AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．現(xiàn)將點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，再以4cm/s的速度沿

CA方向移動(dòng)△DEF；同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以5cm/s的速度沿AB方向移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s），以點(diǎn)P為圓心，3t（cm）長(zhǎng)為半徑的⊙P與直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，△DEF與點(diǎn)P同時(shí)停止移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中：

（1）連接ME，當(dāng)ME∥AC時(shí)，t=________s；

（2）連接NF，當(dāng)NF平分DE時(shí)，求t的值；

（3）是否存在⊙P與Rt△DEF的兩條直角邊所在的直線(xiàn)同時(shí)相切的時(shí)刻？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：（1）作，垂足為，作 垂足為．首先可求得的正弦和余弦值，在中可求得的長(zhǎng)，然后再求得的長(zhǎng)，接下來(lái)，再求得的長(zhǎng)，最后依據(jù)列方程求解即可；
（2）連結(jié)NF交DE與點(diǎn)G，則G為DE的中點(diǎn)．先證明從而可證明 然后再證明是直角三角形，然后利用銳角三角函數(shù)的定義可求得AF的長(zhǎng)，然后依據(jù)列方程求解即可；
（3）如圖3所示：過(guò)點(diǎn)P作，垂足為H，當(dāng)與EF相切時(shí)，且點(diǎn)為G，連結(jié)PG．先證明，然后可得到 然后依據(jù)列方程求解即可；如圖4所示：連接GP，過(guò)點(diǎn)P作 垂足為H．先證明，然后可得到 然后依據(jù)列方程求解即可．

試題解析：(1)如圖1所示：作MH⊥AC，垂足為H，作OG⊥AC，垂足為G.

∵在Rt△ABC中，AC=60，BC=45，

∴AB=75cm.

∴AM=5t3t=2t.

當(dāng)MEAC時(shí),MH=EF,即 解得

故答案為：

(2)如圖2所示：連結(jié)NF交DE與點(diǎn)G，則G為DE的中點(diǎn),

∵AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm，

又

∴△EDF∽△ABC.

∴∠A=∠E.

∵E是DE的中點(diǎn)，

∴∠DFD=∠GDF.

又∵FC=4t，

∴10t+4t=60,解得

(3)如圖3所示：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC，垂足為H，當(dāng)⊙P與EF相切時(shí)，且點(diǎn)為G，連結(jié)PG.

∵EF是⊙P的切線(xiàn)，

∴四邊形PGFH為矩形,

∴PG=HF.

∵⊙P的半徑為3t,

∴PH=3t.

∴⊙P與AC相切,

∵EF為⊙P的切線(xiàn)，

∴PG⊥EF.

∴HF=PG=3t.

∵AH=45AP=4t，FC=4t，

∴4t+3t+4t=60,解得

如圖4所示：連接GP，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC，垂足為H.

由題意得可知：AH=4t，CF=4t.

∵EF是⊙P的切線(xiàn)，

∴四邊形PGFH為矩形,

∴PG=HF.

∵GP=FH，

∴FH=3t.

∴4t+4t3t=60，解得：t=12.

綜上所述,當(dāng)t的值為或12時(shí)，⊙P與Rt△DEF的兩條直角邊所在的直線(xiàn)同時(shí)相切.