Question

如圖△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC繞著它的斜邊中點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DEF的位置，DF交BC于點(diǎn)H．
（1）PH=

2

3

cm．
（2）△ABC與△DEF重疊部分的面積為

9

cm²．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)角相等可知：△FHP∽△FED，又點(diǎn)P為斜面中點(diǎn)，F(xiàn)P=6cm，在根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求出PH的長(zhǎng)；
（2）把所求陰影部分面積看作△FHP與△FMN的面積差，并且這兩個(gè)三角形都與△ABC相似，根據(jù)∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，求出對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求面積即可．

解答：解：設(shè)AC與DF和EF的交點(diǎn)分別為M，N，如下圖所示：

（1）∵∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，點(diǎn)P為斜面中點(diǎn)，
∴FD=6

3

cm，DE=6cm，F(xiàn)P=6cm，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)角相等可知：△FHP∽△FED，
∴

FP

FD

=

HP

DE

=

FH

EF

，即

6

6 3

=

HP

6

=

FH

12

，
解得：PH=2

3

，F(xiàn)H=4

3

；

（2）∵∠C是公共角，∠CPN=∠A=90°，
∴△PNC∽△ABC得，

BA

NP

=

AC

CP

=

BC

NC

，即

6

NP

=

6 3

CP

=

12

NC

，其中CP=6，
解得NP=2

3

，NC=4

3

．
FN=FP-NP=6-2

3

，
由△FMN∽△CPN，可知

FN

NC

=

1- 3

2

，
根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，可知
S_{四邊形MNPH}=S_△FHP-S_△FMN=S_△CNP-（1-

3

2

）S_△CNP=6×2

3

×

1

2

×

3

2

=9．
△ABC與△DEF重疊部分的面積為9cm²．
故答案為：2

3

，9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的知識(shí)，有一定難度，注意相似三角形性質(zhì)的熟練運(yùn)用．