Question

【題目】D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點(diǎn)，O是△ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，連接OB、OC，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、G、F、E．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部時(shí)，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；

（2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

（3）當(dāng)OA與BC滿足 時(shí)，四邊形DGEF是一個(gè)矩形（直接填答案，不需證明．）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AO=BC；（3）OA⊥BC．

【解析】

試題分析：（1）首先利用三角形中位線的性質(zhì)得出DE∥BC，DE=BC，同理，GF∥BC，GF=BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四邊形DGFE是平行四邊形；

（2）利用（1）中所求，只要鄰邊再相等即可得出答案．

（3）利用（1）中所求，只要鄰邊相互垂直的平行四邊形即為矩形．

（1）證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)．

∴DE∥BC，DE=BC．

同理，GF∥BC，GF=BC．

∴DE∥GF，DE=GF．

∴四邊形DEFG是平行四邊形．

（2）解：解法一：點(diǎn)O的位置滿足兩個(gè)要求：AO=BC，且點(diǎn)O不在射線CD、射線BE上．

∵由（1）得出四邊形DEFG是平行四邊形，

∴點(diǎn)O的位置滿足兩個(gè)要求：AO=BC，且點(diǎn)O不在射線CD、射線BE上時(shí)，

可得GD=AO，GF=BC，

∴DG=GE，

∴平行四邊形DEFG是菱形；

解法二：點(diǎn)O在以A為圓心，BC為半徑的一個(gè)圓上，但不包括射線CD、射線BE與⊙A的交點(diǎn)．

解法三：過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線l，點(diǎn)O在以A為圓心，BC為半徑的一個(gè)圓上，但不包括l與⊙A的兩個(gè)交點(diǎn)．

（3）由（1）知，四邊形DEFG是平行四邊形．

當(dāng)OA⊥BC時(shí)，DG⊥GF，

故平行四邊形DGFE是矩形．

故答案是：OA⊥BC．