Question

【題目】如圖，在中，，，為外一點(diǎn)，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn)、、三點(diǎn)在同一直線上.

（1）（觀察猜想）

在圖①中， ；在圖②中， （用含的代數(shù)式表示）

（2）（類比探究）

如圖③，若，請補(bǔ)全圖形，再過點(diǎn)作于點(diǎn)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）（問題解決）

若，，，求點(diǎn)到的距離.

Answer 1

【答案】（1）；；（2），證明見解析；（3）點(diǎn)到的距離為或.

【解析】

（1）在圖①中由旋轉(zhuǎn)可知，由三角形內(nèi)角和可知∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，因?yàn)?/span>，∠OAP+∠PAB=∠OAB，所以∠APB=∠AOB=α；在圖②中，由旋轉(zhuǎn)可知，得到∠OBP+OAP=180°，通過四邊形OAPB的內(nèi)角和為360°，可以得到∠AOB+∠APB=180°，因此∠APB=；

（2）由旋轉(zhuǎn)可知≌，，，，因?yàn)?/span>，得到，即可得證；

（3）當(dāng)點(diǎn)在上方時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由條件可求得PA，再由可求出OH；當(dāng)點(diǎn)在下方時,過點(diǎn)作于點(diǎn)，同理可求出OH.

（1）①由三角形內(nèi)角和為180°得到∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，

由旋轉(zhuǎn)可知，

又∵∠OAP+∠PAB=∠OAB，

∴∠OBP+∠PAB+∠ABO+∠AOB=180°，即∠PAB+∠ABP+∠AOB=180°，

∴∠APB=∠AOB=α；

②由旋轉(zhuǎn)可知，

∵=180°，

∴∠OBP+OAP=180°，

又∵∠OBP+OAP+∠AOB+∠APB=360°，

∴∠AOB+∠APB=180°，

∴∠APB=；

（2）

證明：由繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到

∴≌，，，，

又∵，

∴

∴

（3）【解法1】

（i）如圖，當(dāng)點(diǎn)在上方時，過點(diǎn)作于點(diǎn)

由（1）知，，

∵

∴

由(2)知,

∴

(ii)如圖,當(dāng)點(diǎn)在下方時,過點(diǎn)作于點(diǎn)

由(1)知, ,

∵

∴

∴

∴點(diǎn)到的距離為或.

【解法2】

（i）如圖，當(dāng)點(diǎn)在上方時 ，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，

∴，

∵，取的中點(diǎn)

∴

∴點(diǎn)，，，四點(diǎn)在圓上

∴，且

∴

∴

∵，，

∴

在中，，設(shè)，則

∴，化簡得：

∴，（不合題意，舍去）

∴

（ii）若點(diǎn)在的下方，過點(diǎn)作，

同理可得：

∴點(diǎn)到的距離為或.