Question

如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線y=kx+8與直線AB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)C，過D作DE⊥x軸，E為垂足，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
（1）求直線CD的解析式；
（2）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0），過P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)Q，邊Q點(diǎn)作x軸的平行線交直線CD于點(diǎn)M，設(shè)線段QM的長(zhǎng)為y，當(dāng)-6＜t＜2時(shí)，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，過P、Q、M三點(diǎn)的圓與直線AB和直線CD這兩條直線只有三個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）如圖，∵，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=4，
∴D（2，4），
把D（2，4）代入y=kx+8中，得
4=2k+8，
解得，k=-2，
故直線CD的解析式為y=-2x+8；

（2）∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0），
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t+3），
∵QM∥x軸，
∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t+3，
∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-t+，
∴y=-t+-t，即y=-t+；

（3）由直線AB、CD的解析式得：OB=3 OA=6 OC=4
∵D（2，4）
∴CE=2 DE=4
如圖1，tan∠BAO=tan∠CDE=
∴∠BAO=∠CDE
∴∠ADC=∠ADE+∠BAO=90°
設(shè)過P、Q、M的三點(diǎn)的圓為⊙O′
∵PQM為直角三角形
∴PM為直徑
設(shè)⊙O′與x軸交于H，MH⊥AC，四邊形PQMH為矩形
如圖2，當(dāng)⊙O′與直線CD相切時(shí)PM⊥CD
∴∠ADC=∠PMC=90°
∴PM∥AB
又∵QM∥AC
∴四邊形AQMP為平行四邊形
∴AP=QM
即：-t+=t+6
得：t=-
∵QA=MP=QH
∴∠O′QD=2∠QAC
∵∠QAC≠45°
∴∠O′QD≠90°，
過O′作O′N⊥AD于N
則O′Q＞O′N
∴⊙O′與直線AB相交
∴此時(shí)⊙O′與直線AB和直線CD這兩條直線只有三個(gè)公共點(diǎn)．
如圖3，當(dāng)⊙O′與直線AB相切時(shí)，
同理可得四邊形QMCH為平行四邊形，QM=CH=PH
∴AP+2QM=10
即t+6+2（-t+）=10
解得：t=
同理，過O′作O′T⊥CD于T，
則O′Q=O′M＞OT
∴此時(shí)⊙O′與直線CD相交，
∴當(dāng)t=時(shí)，過P、Q、M三點(diǎn)的圓與直線AB和直線CD這兩天直線只有三個(gè)公共點(diǎn)；
若⊙O′經(jīng)過點(diǎn)D，
∵PM是直徑，
∴∠PDM=90°，
∵-6＜t＜2
∴PDM＜90°（不符合題意）
∴⊙O′不經(jīng)過點(diǎn)D，
綜上所述：t=或t=時(shí)，過P、Q、M三點(diǎn)的圓與直線AB和直線CD這兩天直線只有三個(gè)公共點(diǎn)．
分析：（1）首先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后代入到函數(shù)y=kx+8中即可求得k值，從而求得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)QM∥x軸表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求得函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)直線AB、CD的解析式求得線段OB、OA、OC的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求得線段CE和線段DE的長(zhǎng)，設(shè)過P、Q、M的三點(diǎn)的圓為⊙O′，⊙O′與x軸交于H，MH⊥AC，四邊形PQMH為矩形，然后分當(dāng)⊙O′與直線CD相切時(shí)和當(dāng)⊙O′與直線AB相切時(shí)求得t值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元函數(shù)的應(yīng)用及矩形的性質(zhì)，考查的知識(shí)點(diǎn)雖然不多，但是本題的難度可見一斑，解題的關(guān)鍵是對(duì)圓與不同的直線相切進(jìn)行分類討論，從而求得未知數(shù)的值．