Question

己知：正方形ABCD．
（1）如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊AB和AD上，且AE=AF．此時(shí)，線(xiàn)段BE、DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是什么？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．
（2）如圖2，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，連接BE、DF，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否成立，如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖3，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)a=90°時(shí)，連接BE、DF，猜想溝AE與AD滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，直線(xiàn)DF垂直平分BE．請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．
（4）如圖4，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，連接BD、DE、EF、FB得到四邊形BDEF，則順次連接四邊形BDEF各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，AB=AD，由AE=AF，可得BE=DF且BE⊥DF；
（2）通過(guò)證明△DFA≌△BEA，可得（1）中的結(jié)論依然成立；
（3）連接BD，直線(xiàn)DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，BD=

2

AD，解答出即可；
（4）如圖，通過(guò)證明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，結(jié)合（2）中結(jié)論，可得到各邊中點(diǎn)所組成的四邊形的形狀；

解答：解：（1）BE=DF且BE⊥DF；

（2）在△DFA和△BEA中，
∵∠DAF=90°-∠FAB，∠BAE=90°-∠FAB，
∴∠DAF=∠BAE，
又AB=AD，AE=AF，
∴△DFA≌△BEA，
∴BE=DF；∠ADF=∠ABE，
∴BE⊥DF；

（3）AE=（

2

-1）AD；

（4）正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)及正方形的性質(zhì)，本題的綜合性較強(qiáng)，掌握并熟練應(yīng)用以上性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．