Question

在平面直角坐標系中（單位長度：1cm），A、B兩點的坐標分別A（-2，0）、B（4，0），點C從A點開始以1cm/s的速度沿折線AOy運動，同時點D從B點開始以2cm/s的速度沿折線BOy運動．
（1）在運動開始后的同一時刻，運動時間取何值時一定存在以A、O、C為頂點的三角形和以B、O、D為頂點的三角形此時，以A、O、C為頂點的三角形和以B、O、D為頂點的三角形相似嗎？運動時間取何值時，以A、O、C為頂點的三角形和以B、O、D為頂點的三角形會同時成為等腰直角三角形？請分別說明理由；
（2）請你求出當運動時間是4秒時經(jīng)過三點A、B、C的拋物線的關系式，并指出其頂點坐標．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)三角形存在的條件可知，當A、O、C三點不共線，B、O、D不共線時存在以A、O、C為頂點的三角形和以B、O、D為頂點的三角形．根據(jù)A、B兩點及C、D，運動的速度可計算出C、D到原點時的時間，當大于此時間時它們均可構成三角形．
②由①可知它們運動兩秒時同時到達O點，當它們再運動t秒時可分別計算出OC、OD的長度，根據(jù)其對應邊的比可判斷出兩三角形是否相似．
③當OA=OC、OB=OD時兩三角形均為等腰直角三角形，可設出運動的時間，根據(jù)兩點運動的速度與OA、OB的長度求出時間．
（2）當運動時間是4秒時根據(jù)C點的運動速度可求出C點的坐標，根據(jù)A、B、C三點的坐標，用待定系數(shù)法即可求出過此三點拋物線的解析式．根據(jù)其解析式即可求出其頂點坐標．

解答：解：（1）①當時間大于2s時，以A、O、C為頂點的三角形和以B、O、D為頂點的三角形都存在．（2分）
②△AOC∽△BOD，當時間大于2s時，△AOC與△BOD相似．（3分）
設時間為x（x＞2）時，此時AO=2（cm），CO=x-2（cm），BO=4（cm），DO=2x-4（cm）．
∵

AO

CO

=

2

x-2

，

BO

DO

=

4

2x-4

=

2

x-2

，
而∠AOC=∠BOD=90°，
∴△AOC∽△BOD．（6分）
③當x=4時，△AOC與△BOD會同時成為等腰直角三角形．
設時間x（x＞2）時，△AOC成為等腰直角三角形，
即x-2=2，
解得x=4．
即x=4時，△AOC為等腰直角三角形．
當x=4時，DO=2x-4=8-4=4，即DO=BO．
∴△BOD也是等腰直角三角形．（8分）

（2）當時間為4s時，點C的坐標為（0，2）．
設拋物線的關系式為y=ax²+bx+c，
則

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解之得y=-

1

4

x²+

1

2

x+2．
∵y=-

1

4

x²+

1

2

x+2=-

1

4

（x²-2x-8）=-

1

4

[（x-1）²-9]=-

1

4

（x-1）²+

9

4

．
∴拋物線的頂點坐標為（1，

9

4

）．

點評：此題是典型的動點問題，把三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點的坐標特點相結(jié)合，鍛煉了同學們對所學知識的綜合運用能力．