Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圓心為點(diǎn)C（-1，0），半徑為1．若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于E點(diǎn)，則△ABE面積的最小值是（　�。�

• A．2
• B．

  8

  3

• C．2+

  2

  2

• D．2-

  2

  2

Answer 1

分析：由于OA的長(zhǎng)為定值，若△ABE的面積最小，則BE的長(zhǎng)最短，此時(shí)AD與⊙相切；可連接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的長(zhǎng)，即可得到△ADC的面積；易證得△AEO∽△ACD，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出△AOE的面積，進(jìn)而可得出△AOB和△AOE的面積差，由此得解．

解答：解：若△ABE的面積最小，則AD與⊙C相切，連接CD，則CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2

2

；
∴S_△ACD=

1

2

AD•CD=

2

；
易證得△AOE∽△ADC，
∴

S△AOE

S△ADC

=（

OA

AD

）²=（

2

2 2

）²=

1

2

，
即S_△AOE=

1

2

S_△ADC=

2

2

；
∴S_△ABE=S_△AOB-S_△AOE=

1

2

×2×2-

2

2

=2-

2

2

；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角形面積的求法等知識(shí)；能夠正確的判斷出△BE面積最小時(shí)AD與⊙C的位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．