Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為直線l：x＝a上一點(diǎn)，N是直線l外一點(diǎn)，且直線MN與x軸不平行，若MN為某個(gè)矩形的對(duì)角線，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為直線l的“伴隨矩形”．如圖為直線l的“伴隨矩形”的示意圖．

（1）已知點(diǎn)A在直線l：x＝2上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，﹣2）

①若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為0，則以AB為對(duì)角線的直線l的“伴隨矩形”的面積是　 ；

②若以AB為對(duì)角線的直線l的“伴隨矩形”是正方形，求直線AB的表達(dá)；

（2）點(diǎn)P在直線l：x＝m上，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，若在以點(diǎn)（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）為頂點(diǎn)的四邊形上存在一點(diǎn)Q，使得以PQ為對(duì)角線的直線l的“伴隨矩形”為正方形，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①以AB為對(duì)角線的直線l的“伴隨矩形”AMBN的面積為2；②直線AB的表達(dá)式為y＝﹣x+1或y＝x﹣5；（2）m的范圍為﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．

【解析】

（1）①根據(jù)“伴隨矩形”的定義畫出圖形即可解決問題；

②根據(jù)題意，當(dāng)以AB為對(duì)角線的直線l的“伴隨矩形”為正方形時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-1）或（2，-3），利用待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）如圖3中，求出經(jīng)過特殊位置時(shí)當(dāng)P坐標(biāo)即可解決問題：當(dāng)Q1坐標(biāo)為（-2，-1）時(shí)，可得P1（-7，4）；當(dāng)Q2坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，可得P2（-14）；當(dāng)Q3坐標(biāo)為（2，-1）時(shí)，可得P3（7，4）；當(dāng)Q4坐標(biāo)為（-2，1）時(shí)，可得P4（1，4）；再結(jié)合圖象即可解決問題；

（1）①如圖1中，∵A（2，0），B（3，﹣2）．

∴以AB為對(duì)角線的直線l的“伴隨矩形”AMBN的面積＝1×2＝2．

②如圖2中，

根據(jù)題意，當(dāng)以AB為對(duì)角線的直線l的“伴隨矩形”為正方形時(shí)，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（2，﹣3）．

可得，直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x+1或y＝x﹣5．

（2）如圖3中，

當(dāng)Q1坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）時(shí)，可得P1（﹣7，4）；

當(dāng)Q2坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，可得P2（﹣14）；

當(dāng)Q3坐標(biāo)為（2，﹣1）時(shí)，可得P3（7，4）；

當(dāng)Q4坐標(biāo)為（﹣2，1）時(shí)，可得P4（1，4）；

觀察圖象可知：在以點(diǎn)（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）為頂點(diǎn)的四邊形上存在一點(diǎn)Q，使得以PQ為對(duì)角線的直線l的“伴隨矩形”為正方形時(shí)，m的范圍為﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．