Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于點E，且CD=AC，DF∥BC分別與AB、AC交于點G、F，連接CG．
（1）求證：四邊形BCGD是菱形；
（2）若BC=1，求DF的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件易證明Rt△AEC≌Rt△DFC，得CE=CF，則DE=AF，從而進(jìn)一步證明Rt△AFG≌Rt△DEG，就可得到GE=GF；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可以得到CE=

1

2

AC，則CE=

1

2

CD，即AB是CE的垂直平分線，則BC=BD=1．再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)進(jìn)一步求得AB、BE的長，則AE=AB-BE，結(jié)合（1）中的全等三角形，知DF=AE．

解答：（1）證明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CFD=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°．
在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△DFC．
∴CE=CF．
∴DE=AF．
而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，
∴Rt△AFG≌Rt△DEG．
∴GF=GE；

（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，
∴CE=

1

2

AC=

1

2

CD，
∴CE=ED．
∴BC=BD=1．
又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，
∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

BD=

1

2

，
在直角三角形ABC中，∠A=30°，
則AB=2BC=2．
則AE=AB-BE=

3

2

，
∵Rt△AEC≌Rt△DFC，
∴DF=AE=

3

2

．

點評：此題綜合運用了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)；用到的知識點為：直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半．