Question

【題目】綜合與實(shí)踐：

動(dòng)手操作：如圖1，四邊形是一張矩形紙片，，，點(diǎn)，分別在，邊上，且，連接，.將，分別沿，折疊，點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處.

探究展示：

（1）“刻苦小組”發(fā)現(xiàn)：，且，并展示了如下的證明過(guò)程.

證明：在矩形中，，，.

又∵，

∴.

∴，.

∵，

∴.（依據(jù)1）

∴.

∴.（依據(jù)2）

反思交流：①上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”與“依據(jù)2”分別指什么？

②“勤奮小組”認(rèn)為：還可以通過(guò)證明四邊形是平行四邊形獲證，請(qǐng)你根據(jù)“勤奮小組”的證明思路寫(xiě)出證明過(guò)程.

猜想證明：

（2）如圖2，折疊過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)，在直線的同側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

聯(lián)想拓廣：

（3）如圖3，連接，，.

①當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______；

②的長(zhǎng)有最大值嗎？若有，請(qǐng)你直接寫(xiě)出長(zhǎng)的最大值和此時(shí)四邊形的形狀；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析②見(jiàn)解析；（2）矩形，理由見(jiàn)解析；（3）① ②有；；菱形

【解析】

（1）①根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可得解；

②由矩形的性質(zhì)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換得出，即可判定四邊形是平行四邊形，即可得證；

（2）首先由對(duì)折的性質(zhì)得出，，然后利用，進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換，得出，即可判定四邊形是矩形；

（3）①延長(zhǎng)C′A′交AD于G，A′C′交BC于H，利用△A′GE≌△C′HF，得出AG=BH=4，再利用勾股定理構(gòu)建方程，即可得出AE；

②當(dāng)⊥BD時(shí)，的長(zhǎng)有最大值，利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理即可得解.

（1）①“依據(jù)1”指兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

“依據(jù)2”指同位角相等，兩直線平行.

②證明：在矩形中，，.

又∵，

∴，即.

∴四邊形是平行四邊形.

∴，且.

（2）四邊形是矩形，

延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，如下圖.

由對(duì)折可知，.

∵，

∴.

同理，.

由（1）得，，

∴.

由對(duì)折可知，，.

∴

在中，.

在矩形中，，即.

∴.

∴.

∴.

∴.

∴四邊形是矩形.

（3）①延長(zhǎng)C′A′交AD于G，A′C′交BC于H，如圖所示：

∵

∴GH∥AB

∴∠A′GE=∠C′HF=90°，AG=BH

∵∠EA′G=∠FC′H，A′E=C′F

∴△A′GE≌△C′HF

∴EG=FH

∵AE=CF

∴AG=CH

∴AG=BH=4

∴

∴

設(shè)AE=x，則EG=4-x，

在Rt△A′EG中，

即

解得，即AE=；

②當(dāng)⊥BD時(shí)，的長(zhǎng)有最大值，最大值為，此時(shí)四邊形是菱形.