Question

【題目】圖（1）是我們常見(jiàn)的“箭頭圖”，其中隱藏著哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：

（1）觀察如圖（1）“箭頭圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間大小的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：
①如圖（2），把一塊三角板XYZ放置在△ABC上，使其兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C．若∠A=50°，求∠ABX+∠ACX

②如圖（3），∠ABD，∠ACD的五等分線分別相交于點(diǎn)G1、G2、G3、G4 ， 若∠BDC=135°，∠BG1C=67°，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：

連接AD并延長(zhǎng)到M．

因?yàn)椤螧DM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，

所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，

即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．

（2）解：①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，

由于∠BXC=90°，∠A=50°

所以∠ABX+∠ACX

=∠BXC﹣∠A

=90°﹣50°

=40°．

②在箭頭圖G1BDC中

因?yàn)椤螧DC=∠G1+∠G1BD+∠G1CD，

又∵∠BDC=135°，∠BG1C=67°

∵∠ABD，∠ACD的五等分線分別相交于點(diǎn)G1、G2、G3、G4

∴4（∠DBG4+∠DCG4）=135°﹣67°

∴∠DBG4+∠DCG4=17°．

∴∠ABG1+∠ACG1=17°

∵在箭頭圖G1BAC中

∵∠BG1C=∠A+∠G1BA+∠G1CA，

又∵∠BG1C=67°，

∴∠A=50°．

答：∠A的度數(shù)是50°．

【解析】第1小題，連接AD并延長(zhǎng)到M，利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；第2小題，由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，再根據(jù)已知條件可求解。