Question

【題目】如圖是某同學(xué)對一道作業(yè)題的解題思路，課堂上師生據(jù)此展開了討論．問題如圖，已知A（1，）、B（4，0），∠OAB的平分線AC交x軸于點C，求OC的長．思路：作AD⊥OB，CE⊥AB，CF⊥OA

①A坐標(biāo)→OD＝1，AD＝，OA＝2→∠AOC＝60°；

②A、B坐標(biāo)→OA＝2，OB＝4，AB＝2→∠OAB＝90°；

③AC平分∠OAB→CE＝CF；

④S△AOC+S△ABC＝S△AOB→AOCF+ABCE＝OAAB→CF＝3﹣；

⑤綜上，Rt△OCF中，OC＝﹣2．可以優(yōu)化嗎？

（1）同學(xué)們發(fā)現(xiàn)不需要證“∠OAB＝90°”也能求解，簡要說明理由．幾位同學(xué)提出了不同的思路

①甲說：S△AOC和S△ABC的面積之比既是，又是，從而；

②乙說：在AB邊上取點G，使AG＝AO，連接CG，可知BG的長即為所求；

③丙說：延長AC交△AOB的外接圓于N，再利用一次函數(shù)或相似求出OC．

請你選擇其中一種解法，利用圖2和已有步驟完成解答．有什么收獲？

（2）面積法是圖形問題中確定數(shù)量關(guān)系的有效方法，請利用面積法求解：如圖1，⊙O與△ABC的邊AC，邊BA、BC的延長線AE、CF相切，切點分別為D、E、F．設(shè)△ABC的面積為S，BC＝a，AC＝b，AB＝c，請用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半徑R，直接寫出結(jié)果．

Answer 1

【答案】（1）方法可以優(yōu)化．見解析。本題收獲：學(xué)會了利用面積法解決問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．

（2）R＝．

【解析】

（1）根據(jù)甲、乙、丙的三種思路解決問題即可；

（2）根據(jù)S△ABC＝S△AOB+S△OBC﹣S△AOC，利用面積法解決問題即可．

解：（1）方法可以優(yōu)化．

方法一：如圖2﹣1中，作CE⊥OA于E，CF⊥AB于F．

∵CA平分∠OAB，CE⊥OA，CF⊥AB，

∴CE＝CF，

∵= ＝=，

∴OC＝OB＝2﹣2．

方法二：如圖2﹣2中，在AB邊上取點G，使AG＝AO，連接CG．

∵AO＝AG，∠OAC＝∠CAG，AC＝AC，

∴△ACO≌△ACG（SAS），

∴OC＝CG，

∵∠AOC＝∠AGC＝60°，∠ABO＝30°，∠AGC＝∠GCB+∠ABO，

∴∠GCB＝∠GBC，

∴GC＝GB，

∴OC＝GB＝2﹣2．

方法三：如圖2﹣3中，延長AC交△ABC的外接圓于點N，連接ON，BN．

易知N（2，﹣2），

∵A（1，），

∴直線AN的解析式為y＝（﹣2﹣）x+2+2，

令y＝0，得到x＝2﹣2，

∴C（2﹣2），

∴OC＝2﹣2．

本題收獲：學(xué)會了利用面積法解決問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．

（2）如圖1中，連接OB，OE，OD，OF．

∵⊙O與△ABC的邊AC，邊BA、BC的延長線AE、CF相切，切點分別為D、E、F，

∴OE⊥AB，OD⊥AC，OF⊥BC，

∵S△ABC＝S△AOB+S△OBC﹣S△AOC，

∴S＝cR+aR﹣bR，

∴R＝ ．