Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過三點．

（1）求過三點拋物線的解析式并求出頂點的坐標；

（2）在拋物線上是否存在點，使為直角三角形，若存在，直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）試探究在直線上是否存在一點，使得的周長最小，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點．

，

點都在拋物線上，

  

拋物線的解析式為

頂點

（2）存在

（3）存在

理由：

解法一：

延長到點，使，連接交直線于點，則點就是所求的點．

過點作于點．

點在拋物線上，

在中，，

，，

在中，，

，，

設直線的解析式為

   解得

   解得 

在直線上存在點，使得的周長最小，此時．

解法二：

過點作的垂線交軸于點，則點為點關于直線的對稱點．

連接交于點，則點即為所求．

過點作軸于點，則，．

，

同方法一可求得．

在中，，，可求得，

為線段的垂直平分線，可證得為等邊三角形，

垂直平分．

即點為點關于的對稱點．

設直線的解析式為，由題意得

   解得

   解得 

在直線上存在點，使得的周長最小，此時．