Question

4．如圖，在△ABC中，點D在BC上，且BD=2CD，AB⊥AD，若tanB=$\frac{4}{3}$，則tan∠CAD=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 作CE⊥AD交AD的延長線于點E，畫出相應的圖形，然后可以得到各邊之間的關系，從而可以表示出tan∠CAD，從而得到tan∠CAD的值．

解答 解：作CE⊥AD交AD的延長線于點E，如下圖所示，

∵AB⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BAD=∠CED=90°，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△BAD∽△CED，
∴∠B=∠DCE，
設AD=4x，AB=3x，
則BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}=\sqrt{（4x）^{2}+（3x）^{2}}$=5x，
∵BD=2CD，
∴CD=2.5x，
∵tanB=$\frac{4}{3}$，∠B=∠DCE，CD=2.5x，
∴tan∠DCE=$\frac{4}{3}$，sin∠DCE=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{4}{5}$，cos$∠DCE=\frac{CE}{CD}$=$\frac{3}{5}$，
∴CE=1.5x，DE=2x，
∴tan∠CAD=$\frac{CE}{AE}=\frac{CE}{AD+AE}=\frac{1.5x}{4x+2x}$=$\frac{1.5x}{6x}=\frac{1}{4}$，
故選B．

點評 本題考查解直角三角形，解題的關鍵是明確題意，找出各邊之間的關系，然后找出所求問題需要的條件．