Question

【題目】如圖（1），是兩個全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）

（1）用這樣的兩個三角形構造成如圖（2）的圖形，利用這個圖形，證明：a2+b2＝c2；

（2）用這樣的兩個三角形構造圖3的圖形，你能利用這個圖形證明出題（1）的結論嗎？如果能，請寫出證明過程；

（3）當a＝3，b＝4時，將其中一個直角三角形放入平面直角坐標系中，使直角頂點與原點重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合（如圖4中Rt△AOB的位置）．點C為線段OA上一點，將△ABC沿著直線BC翻折，點A恰好落在x軸上的D處．

①請寫出C、D兩點的坐標；

②若△CMD為等腰三角形，點M在x軸上，請直接寫出符合條件的所有點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）能，見解析；（3）①C、D兩點的坐標為C（0，），D（2，0）；②符合條件的所有點M的坐標為：（，0）、（，0）；、（﹣2，0）、（﹣，0）

【解析】

（1）根據梯形的面積的兩種表示方法即可證明；

（2）根據四邊形ABCD的面積的兩種表示方法即可證明；

（3）①根據翻折的性質和勾股定理即可求解；

②根據等腰三角形的性質分四種情況求解即可．

解：（1）∵S梯形ABCD=

S梯形ABCD=

．

（2）連接，

如圖：

S四邊形ABCD=，

S四邊形ABCD=，

，

．

（3）①設，則，又，

根據翻折可知：

，，

．

在中，根據勾股定理，得

，

解得．

，．

答：、兩點的坐標為，．

②如圖：

當點在軸正半軸上時，

，

設，則，解得，

，

，；

，，，

，；

當點在軸負半軸上時，

，，

；

，，

，

，．

∴符合條件的所有點的坐標為：，、，、、，．