Question

如圖1，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90度．
（1）過C作對角線BD的垂線，分別交BD，AD于點E，F(xiàn)，求證：CD²=DF·DA；
（2）如圖2，若過BD上另一點E作BD的垂線，分別交BA，BC的延長線于點F，G，又有什么結(jié)論呢？你會證明嗎？

Answer 1

證明：（1）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，
∴△DEF∽△DAB，
∴DE：DA=DF：DB，∴DEDB=DADF，
∵∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，
∴△DEC∽△DCB，∴=，
∴DC²=DE·DB，
又∵DE﹒DB=DA·DF，
∴CD²=DF·DA．
（2）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠ABD=∠EBF，
∴△DAB∽△FEB，
∴DB：FB=AB：EB，
∴BE·BD=AB·BF．同理△DBC∽△GBE．
∴DB：GB=BC：BE．
∴BE·BD=BC·BG．
∴AB·BF=BC·BG