Question

如圖M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME=∠A=∠B=45°，且DM交AC于F，ME交BC于G，連接FG，若AB=4

2

，AF=3，則BG=

8

3

，F(xiàn)G=

5

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件，∠DME=∠A=∠B=45度，結(jié)合圖形上的公共角∠E，即可推出AMF∽△BGM，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，推出BG的長(zhǎng)度，依據(jù)銳角三角函數(shù)推出AC的長(zhǎng)度，即可求出CG、CF的長(zhǎng)度，繼而推出FG的長(zhǎng)度．

解答：解：∵∠AFM=∠DME+∠E（外角定理），
∠DME=∠A=∠B（已知），
∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，
∴△AMF∽△BGM，
∵∠DME=∠A=∠B=45°
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，
∴AM=BM=2

2

，
∵△AMF∽△BGM，
∴

AF

AM

=

BM

BG

，
∴BG=

AM•BM

AF

=

2 2 ×2 2

3

=

8

3

，
AC=BC=4

2

cos45°=4，
∴CG=4-

8

3

=

4

3

，CF=4-3=1，
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG=

CF2+CG2

=

12+( 4 3 )2

=

5

3

．
故答案為：

8

3

，

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵找到相似的三角形，根據(jù)其性質(zhì)求出BG、FG的長(zhǎng)度．