Question

（2010•房山區(qū)一模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=2，點(diǎn)E是AB邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），連接ED，過ED的中點(diǎn)F作ED的垂線，交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)K，過點(diǎn)K作KM⊥AD于M．
（1）當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，求

DM

DG

的值；
（3）若

AE

AB

=

1

3

，則

DM

DG

的值等于

2

5

；
（6）若

AE

AB

=

1

n

（n為正整數(shù)），
則

DM

DG

的值等于

(n-1)2

n2+1

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）連接GE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和已知條件證明△KMG≌△DAE，設(shè)GE=GD=x，在Rt△AEG中，利用勾股定理求出x的值，因?yàn)镈M=GD-GM，所以可以求出DM的值，進(jìn)而求出

DM

DG

的值；
（2）根據(jù)

AE

AB

=

1

3

，得出AE=

2

3

，由勾股定理得（2-x）²+（

2

3

）²=x²，因?yàn)镈M=GD-GM，所以可以求出DM的值，進(jìn)而求出

DM

DG

的值；
（3）根據(jù)

AE

AB

=

1

n

，得出AE=

2

n

，由勾股定理得（2-x）²+（

2

n

）²=x²，因?yàn)镈M=GD-GM，所以可以求出DM的值，進(jìn)而求出

DM

DG

的值；

解答：解：（1）連接GE．
∵KM⊥AD，KG是DE的垂直平分線
∴∠KMG=∠DFG=90°
∴∠GKM=∠GDF
∵M(jìn)K=AB=AD，∠KMG=∠DAE=90°
∴△KMG≌△DAE
∴MG=AE
∵E是AB中點(diǎn)，且AB=AD=2
∴AE=MG=1
∵KG是DE的垂直平分線
∴GE=GD
設(shè)GE=GD=x
則AG=2-x
在Rt△AEG中，∠EAG=90°，
由勾股定理得（2-x）²+1²=x²
∴x=

5

4

，
∴DM=GD-GM=

1

4

，
∴

DM

DG

=

1

5

；

（2）若

AE

AB

=

1

3

，
則AE=

2

3

，
∴AE=MG=

2

3

，
設(shè)GE=GD=x
則AG=2-x
在Rt△AEG中，∠EAG=90°，
由勾股定理得（2-x）²+（

2

3

）²=x²
∴x=

10

9

，
∴GD=

10

9

，
∴DM=GD-GM=

4

9

，
∴

DM

DG

=

4 9

10 9

=

2

5

；

（3）若

AE

AB

=

1

n

，
則AE=

2

n

，
∴AE=MG=

2

n

，
設(shè)GE=GD=x
則AG=2-x
在Rt△AEG中，∠EAG=90°，
由勾股定理得（2-x）²+（

2

n

）²=x²
∴x=

n2+1

n2

，
∴GD=

n2+1

n2

，
∴DM=GD-GM=

(n-1)2

n2

，
∴

DM

DG

=

(n-1)2 n2

n2+1 n2

=

(n-1)2

n2+1

．
故答案為：

2

5

，

(n-1)2

n2+1

．

點(diǎn)評：此題考查了梯形，用到的知識點(diǎn)是梯形的性質(zhì)、勾股定理、線段的中垂線的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，表示出線段的長，利用勾股定理列出方程，求出x的值．