Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，且∠AB0=30°，拋物線經(jīng)過A，O，B三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△AOC的周長最��？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，線段OD把△AOB分成兩個三角形，使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積之比為2：3？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，
在Rt△ABF中，∠AB0=30⁰，A的坐標(biāo)為（1，），
∴OF=1，AF=，BF=3．
∴BO=BF-OF=2． B（-2，O）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x+2）．將點(diǎn)A（l，）代入，得a=，
∴拋物線的解析式為y=x²+x，對稱軸為直線x=-1，
（2）存在點(diǎn)C 設(shè)拋物線的對稱軸x=-1交x軸于點(diǎn)E．，
∵點(diǎn)B（一2，O）和點(diǎn)O（0，O）關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴當(dāng)點(diǎn)C位于對稱軸與線段AB的交點(diǎn)時，△AOC的周長最�。�
∵△BCE∽△BAF，
∴，
∴CE==，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，）；
（3）在x軸下方的拋物線上存在一點(diǎn)P，使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積之比為2：3，
理由如下：
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則，解得：，
∴直線AB的解析式為y=x+，
如圖連接AO，設(shè)P（m，n），
則D（m，m+），n=m²+m，
S_{四邊形BPOD}=BO•DP=×2（m+-n）=-m²-m+，
S_△BOD=×2×（m+）=m+，
S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=×2-m+=-m+，
①要使三角形AOD面積與四邊形BPOD面積之比為2：3則，
2（-m²-m+）=3（-m+），
∴2m²-m-1=0，解得：m=-或1（舍），
∴P（-，-）；
②要使三角形BOD面積與四邊形BPOD面積之比為2：3則，
2（-m²-m+）=3（m+），
∴2m²+5m+1=0，解得：m=-或-2，
∴P（-，-）或P（-2，0）（不符合題意），
∴存在點(diǎn)P滿足要求，起坐標(biāo)為P（-，-）．
分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，O，B，運(yùn)用待定系數(shù)法就可以直接求出拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)A作x軸的垂線與x軸的交點(diǎn)是C，作CA⊥AB于A，交x軸于點(diǎn)C，這就是滿足條件的C，利用解直接三角形就可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）由A、B的坐標(biāo)可以求出直線AB的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，就可以表示出E的坐標(biāo)，利用面積之比建立等量關(guān)系根據(jù)兩種不同的情況就可以求出P的解析式．
點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的應(yīng)用，題目的綜合性很強(qiáng)，對學(xué)生的解題的能力要求很高．