Question

【題目】如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F在CB的延長線上，且EF∥BD.

(1)求證：四邊形OBFE是平行四邊形；

(2)當(dāng)線段AD和BD之間滿足什么條件時(shí)，四邊形OBFE是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

(1)首先證明OE是△ABC的中位線，推出OE∥BC，由EF∥OB，即可得出四邊形OBFE是平行四邊形；

(2)當(dāng)AD⊥BD時(shí)，四邊形OBFE是矩形. 只要證明∠EOB＝90°即可解決問題．

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

又∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE∥BC，

又∵點(diǎn)F在CB的延長線上，

∴OE∥BF，

∵EF∥BD，即EF∥OB，

∴四邊形OBFE是平行四邊形；

(2)當(dāng)AD⊥BD時(shí)，四邊形OBFE是矩形.

理由：由(1)可知，四邊形OBFE是平行四邊形，

又∵AD⊥BD，AD∥BC，且點(diǎn)F在BC的延長線上，

∴FC⊥BD，

∴∠OBF＝90°，

∴四邊形OBFE是矩形．