Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-1）．且對稱軸為．

（1）求拋物線的解析式及A、B兩點的坐標(biāo)；

（2）點D在x軸下方的拋物線上，則四邊形ABDC的面積是否存在最大值，若存在，求出此時點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）、；A（-1，0），B（3，0）；（2）、D的坐標(biāo)為（，）；P1（-4，7），P2（4，）；P3（2，-1）．

【解析】試題分析：（1）、根據(jù)點C的坐標(biāo)和對稱軸求出函數(shù)解析式，然后得出點A和點B的坐標(biāo)；（2）、首先設(shè)點D的坐標(biāo)，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化成△AOC+四邊形OCDM+△BMD的面積和得出關(guān)于a的二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；（3）、本題分①、AB為邊時，則需要滿足PQ∥AB，PQ=AB=4，得出點P的坐標(biāo)，②當(dāng)AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，設(shè)線段AB中點為G，則PQ必過G點且與y軸交于Q點，過點P作x軸的垂線交于點H，可證得△PHG≌△QOG，從而得出點P的坐標(biāo).

試題解析：（1）、∵拋物線與y軸交于點C（0，-1）．且對稱軸為．∴，解得：，

∴拋物線解析式為，令，解得：，， ∴A（-1，0），B（3，0），

（2）、設(shè)D（，）（0＜a＜3），作DM⊥x軸于M，則S四邊形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，∴

∵，∴當(dāng)時，S四邊形ABDC取得最大值， 此時，∴D的坐標(biāo)為（，）

（3）、①當(dāng)AB為邊時，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知點Q在y軸上，所以點P的橫坐標(biāo)為-4或4，

當(dāng)x=-4時，y=7；當(dāng)x=4時，y=； 此時點P的坐標(biāo)為P1（-4，7），P2的坐標(biāo)為（4，）；

②當(dāng)AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，設(shè)線段AB中點為G，則PQ必過G點且與y軸交于Q點，過點P作x軸的垂線交于點H，可證得△PHG≌△QOG，

∴GO=GH，∵線段AB的中點G的橫坐標(biāo)為1，∴此時點P橫坐標(biāo)為2，由此當(dāng)x=2時，y=-1，此時點P的坐標(biāo)為P3（2，-1），

∴所以符合條件的點為：P1（-4，7），P2（4，）；P3（2，-1）．