Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉得到△ADE，連接BD，CE交于點F，BD交AE于M．

（1）求證：△AEC≌△ADB；

（2）若BC=2，∠BAC=30°，當四邊形ADFC是菱形時，求BF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由旋轉的性質得到△ABC≌△ADE，，然后根據全等三角形的性質求出AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，最后可根據“SAS”證得結論；

（2）過點B作BM⊥EC于點M，然后根據菱形的性質可得AC∥DF，再根據平行線的性質得到∠DBA=∠BAC=45°，從而得到△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理可求BD，最后根據線段的計算求解得到BF的長.

試題解析：（1）由旋轉的性質得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，

∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，

∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）過點B作BM⊥EC于點M，∵∠BAC=30°AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=75°.

∵當四邊形ADFC是菱形時，AC∥DF,

∴∠FBA=∠BAC=30°,

∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD=30°,

∴∠ACE=∠ADB=30°,∴∠FCB=45°.

∵BM⊥EC，∴∠MBC=45°,

∴BM=MC=BCsin45°=×2=,

∵∠ABC＝75°,∠ABD＝30°,∠FCB=45°

∴∠BFC＝180°-75°-45°-30°=30°,

∴BF=2BM=2.