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        1. (2013•棗莊)如圖,AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線EF經(jīng)過點(diǎn)C,AD⊥EF于點(diǎn)D,∠DAC=∠BAC.
          (1)求證:EF是⊙O的切線;
          (2)求證:AC2=AD•AB;
          (3)若⊙O的半徑為2,∠ACD=30°,求圖中陰影部分的面積.
          分析:(1)連接OC,根據(jù)OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC,推出OC∥AD,得出OC⊥EF,根據(jù)切線的判定推出即可;
          (2)證△ADC∽△ACB,得出比例式,即可推出答案;
          (3)求出等邊三角形OAC,求出AC、∠AOC,在Rt△ACD中,求出AD、CD,求出梯形OCDA和扇形OCA的面積,相減即可得出答案.
          解答:(1)證明:連接OC,
          ∵OA=OC,
          ∴∠BAC=∠OCA,
          ∵∠DAC=∠BAC,
          ∴∠OCA=∠DAC,
          ∴OC∥AD,
          ∵AD⊥EF,
          ∴OC⊥EF,
          ∵OC為半徑,
          ∴EF是⊙O的切線.

          (2)證明:連接BC,
          ∵AB為⊙O直徑,AD⊥EF,
          ∴∠BCA=∠ADC=90°,
          ∵∠DAC=∠BAC,
          ∴△ACB∽△ADC,
          AD
          AC
          =
          AC
          AB
          ,
          ∴AC2=AD•AB.

          (3)解:∵∠ACD=30°,∠OCD=90°,
          ∴∠OCA=60°,
          ∵OC=OA,
          ∴△OAC是等邊三角形,
          ∴AC=OA=OC=2,∠AOC=60°,
          ∵在Rt△ACD中,AD=
          1
          2
          AC=
          1
          2
          ×2=1,
          由勾股定理得:DC=
          3
          ,
          ∴陰影部分的面積是S=S梯形OCDA-S扇形OCA=
          1
          2
          ×(2+1)×
          3
          -
          60π×22
          360
          =
          3
          3
          2
          -
          2
          3
          π.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的性質(zhì)和判定,相似三角形的性質(zhì)和判定,梯形的性質(zhì),扇形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生能否運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算,題目具有一定的代表性,是一道比較好的題目.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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