Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，梯形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為A（-3，0），B（15，0），D（0，4），且CD=10．一條拋物線經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D后又以每秒3個(gè)單位的速度沿DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止；同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿BO運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)O停止．過點(diǎn)E作y軸的平行線，交邊BC或CD于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)R．設(shè)P、E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求這條拋物線的解析式．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)R之間的距離為8時(shí)，求t的值．
（3）直接寫出使△MPQ成為直角三角形時(shí)t值的個(gè)數(shù)．
（4）設(shè)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為d，當(dāng)2≤d≤7時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求得C的坐標(biāo)，則M的坐標(biāo)即可求得，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）首先求得直線BC的解析式，當(dāng)Q和點(diǎn)R之間的距離為8時(shí)，PQ一定在C點(diǎn)的右側(cè)，則根據(jù)Q和點(diǎn)R之間的距離為8，即可得到一個(gè)關(guān)于x的方程，求得x的值，即E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則BE即可求得，從而求得時(shí)間t；
（3））△MDC是等腰三角形，且是鈍角三角形，∠DMC是鈍角，且P和Q同時(shí)分別到達(dá)D和C，因而△MPQ的頂點(diǎn)P，Q在CD上移動(dòng)時(shí)，三角形的三個(gè)角都可能是直角；
（4）首先判斷當(dāng)當(dāng)2≤d≤7時(shí)，P，Q都在線段CD上，即可列不等式組求解．

解答：解：（1）∵梯形ABCD中，AB∥CD，D的坐標(biāo)是（0，4），CD=10，
∴C的坐標(biāo)是（10，4），
∴M的坐標(biāo)是（5，0），
設(shè)拋物線的解析式是：y=a（x-5）²，把（0，4）代入得：25a=4，解得：a=

4

25

，
則拋物線的解析式是：y=

4

25

（x-5）²；
（2）設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：

15k+b=0 10k+b=4

，解得：

k=- 4 5 b=12

，則直線的解析式是：y=-

4

5

x+12，
根據(jù)題意得：

4

25

（x-5）²-（-

4

5

x+12）=8，解得：x=

5±5 17

2

（x=

5-5 17

2

＜0，故舍去），
則x=

5+5 17

2

．即OE=

5+5 17

2

，BE=OB-OE=15-

5+5 17

2

=

25-5 17

2

，則t=

BE

5

=

5- 17

2

；
（3）△MDC是等腰三角形，且是鈍角三角形，∠DMC是鈍角，且P和Q同時(shí)分別到達(dá)D和C．
因而△MPQ的頂點(diǎn)P，Q在CD上移動(dòng)時(shí)，三角形的三個(gè)角都可能是直角，成為直角三角形；
點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D停止，但點(diǎn)P還在運(yùn)動(dòng)，還會(huì)出現(xiàn)一個(gè)直角三角形，故t的值有4個(gè)；
（4）作CF⊥AB于F．
則BF=5，
在直角△AOD中，AD=

OA2+OD2

=

32+42

=5，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿BO運(yùn)動(dòng)．
∴P從A到D，以及E由B到F，即Q到達(dá)C，都需要1秒．
∵CD=10＞7，
∴當(dāng)2≤d≤7時(shí)，P，Q都在線段CD上．
設(shè)經(jīng)過x秒，P、Q相遇，則3（x-1）+5（x-1）=10，解得：x=

9

4

，
設(shè)經(jīng)過t秒，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為d，且2≤d≤7，當(dāng)P、Q相遇以前時(shí)：則PQ=10-3（t-1）-5（t-1）=18-8t，
則2≤18-8t≤7，
解得：

11

8

≤t≤2．
相遇以后，即t≥

9

4

時(shí)：PQ=3（t-

9

4

）+5（t-

9

4

）=8t-18，則2≤8t-18≤7，當(dāng)3（t-1）=7時(shí)，t=

10

3

解得：

5

2

≤t≤

10

3

．
總之，t的取值范圍是：

11

8

≤t≤2或

5

2

≤t≤

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及方程與不等式組的應(yīng)用，正確判斷當(dāng)2≤d≤7時(shí)，P，Q都在線段CD上是關(guān)鍵．