Question

23、（1）如圖1，以等腰直角△ABC的直角邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點，則DE與AM之間的數(shù)量關系為

DE=2AM

；
（2）如圖2，以任意直角△ABC的直角邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點，則DE與AM之間的數(shù)量關系為

DE=2AM

；
（3）如圖3，以任意非直角△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點，試判斷DE與AM之間的數(shù)量關系，并說明理由；
（4）如圖4，若以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向內作等腰直角△ABE和△ACD，其它條件不變，請直接寫出線段DE與AM之間的數(shù)量關系．

Answer 1

分析：（1）易知四邊形BCDE是正方形，那么ED=BC，且△ABC是等腰直角三角形，由此可得ED=BC=2AM．
（2）解法與（1）類似，由于△ABE、△ACD都是等腰直角三角形，可證得Rt△ABC≌Rt△AED，則BC=DE，而AM是斜邊BC上的中線，即可得到ED=BC=2AM．
（3）與（1）（2）的結論相同，仍然要用全等三角形來求解．延長BA到F，使得BA=AF，連接FC，易知AM是△BCF的中位線，即CF=2AM，因此只需證得ED=CF即可．由于∠EAF、∠CAD都是直角，減去同一個角∠DAF后，得到∠EAD=∠CAF，而AF=AE、CA=AD，由此可得△ADE≌△ACF，由此得證．
（4）思路和解法與（3）完全相同．

解答：解：（1）由于△ABC、△ABE和△ACD都是全等的等腰直角三角形，所以AE=AB=AC=AD，且EC⊥BD，則四邊形ABCD是正方形，故DE=BC=2AM．

（2）∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠CAD=∠BAC=∠EAD=90°，且AE=AB，AC=AD，
∴△EAD≌△BAC，
∴DE=BC；
而AM是Rt△ABC斜邊上的中線，則DE=BC=2AM．

（3）DE=2AM；
理由如下：
延長BA至F，使得BA=AF；
則AM是△BCA的中位線，CF=2AM．
∵∠BAE=∠EAF=∠CAD=90°，
∴∠EAD=∠FAC=90°-∠DAF，
又∵AE=AF=AB，AD=AC，
∴△AED≌△AFC，得DE=CF，
故DE=2AM．

（4）DE=2AM，解法和（3）完全相同．

點評：此題主要考查了直角三角形的性質、三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質，難度較大．