Question

9．如圖，在直角坐標系xOy中，若拋物線y=$\frac{1}{2}{x^2}$+2x交x軸的負半軸于A，以O為旋轉中心，將線段OA按逆時針方向旋轉α（0°＜α≤360°），再沿水平方向向右或向左平移若干個單位長度，對應線段的一個端點正好落在拋物線的頂點處，請直接寫出所有符合題意的α的值是30°或150°．

Answer 1

分析 首先求出拋物線的頂點坐標以及AO的長，再利用平移的性質結合AO只是左右平移，進而得出旋轉的角度．

解答 解：由題意可得：y=$\frac{1}{2}{x^2}$+2x=$\frac{1}{2}$（x+2）²-2，
故拋物線的頂點坐標為：（-2，-2），
當y=0時，0=$\frac{1}{2}$（x+2）²-2
解得：x₁=0，x₂=4，
故AO=4，
∵將線段OA按逆時針方向旋轉α（0°＜α≤360°），再沿水平方向向右或向左平移若干個單位長度，對應線段的一個端點正好落在拋物線的頂點處，
∴旋轉后對應點A′到x軸的距離為：2，
如圖，過點A′作A′C⊥x軸于點C，
當∠COA′=30°，
則CA′=$\frac{1}{2}$A′O=2，
故α為30°時符合題意，
同理可得：α為150°時也符合題意，
綜上所述：所有符合題意的α的值是30°或150°．
故答案為：30°或150°．

點評 此題主要考查了拋物線與x軸的交點以及旋轉與平移變換，正確得出對應點的特點是解題關鍵．