Question

已知：如圖，四邊形ABCD為菱形，AF⊥AD交BD于點E，交BC于點F．
（1）求證：AD²=

1

2

DE•DB；
（2）過點E作EG⊥AF交AB于點G，若線段BE、DE（BE＜DE）的長是方程x²-3mx+2m²=0（m＞0）的兩個根，且菱形ABCD的面積為6

3

，求EG的長．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得到△AOD∽△EAD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)果；
（2）先解二次方程，求出BE，DE的值，直接利用（1）的結(jié)果，可求出AD的值，再利用勾股定理及三角函數(shù)求得AE，EF，BF的值，根據(jù)比例線段求得EG的長，再根據(jù)菱形的面積可求出m的值，那么EG就求出來了．

解答：解法一：（1）證明：連接AC交BD于點O（1分）
∵四邊形ABCD為菱形
∴AC⊥BD，BO=OD（2分）
∵AE⊥AD
∴△AOD∽△EAD
∴

AD

OD

=

ED

AD

（3分）
∴AD²=OD×ED
∴AD²=

1

2

DE×BD（4分）

（2）解：解方程x²-3mx+2m²=0得x₁=m，x₂=2m
∵BE＜DE
∴BE=m，DE=2m（5分）
∵AD²=

1

2

DE×BD
∴AD=

3

m（6分）
在Rt△ADE中，DE=2m，AD=

3

m
∴AE=m，∠ADB=30°
在Rt△BEF中，∠EBF=30°，BE=m
∴EF=

1

2

m，∴AF=

3

2

m（7分）
∵S_ABCD=AD×AF=

3

m×

3

2

m=6

3

∴m²=4
∴m=±2（負值舍去）
∴m=2（8分）
∵EG⊥AF，AD⊥AF
∴GE∥AD
∴

GE

AD

=

BE

BD

∴GE=

2 3

3

（9分）

解法二：（1）證：取DE的中點G，連接AG．（1分）
在Rt△EAD中，AG=DG=EG
∴∠GAD=∠GDA（2分）
∵四邊形ABCD為菱形
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∴∠GAD=∠ABD，∠ADB=∠ADB
∴△ADG∽△BDA（3分）
∴

AD

BD

=

DG

AD

∴AD2=DG×BD=

1

2

DE×BD（4分）

（2）解：∵x²-3mx+2m²=0
∴x₁=m，x₂=2m
∵BE＜DE
∴BE=m，DE=2m（5分）
∵AD2=

1

2

DE×BD
∴AD=

3

m（6分）
Rt△AOD中，AD=

3

m，OD=

3

2

m，
∴AO=

3

2

m，
∴AC=

3

m（7分）
∵S_ABCD=

1

2

AC×BD=

1

2

×

3

m×3m=6

3

∴m²=4，∴m=±2（負值舍去）
∴m=2（8分）
∵EG⊥AE，AD⊥AF
∴GE∥AD
∴

GE

AD

=

BE

BD

∴GE=

2 3

3

（9分）

點評：本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理，解一元二次方程的理解及運用．