Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b圖象與反比例函數(shù)y=

t

x

的圖象在第一象限內(nèi)交于A（1，2）、B兩點，與x軸交于N點，且OA⊥AB．
（1）求反比例函數(shù)解析式．
（2）求N點坐標，并求一次函數(shù)解析式．
（3）過點B作BP⊥AB交x軸于P，求S_△BPN．

Answer 1

分析：（1）待定系數(shù)法把A點坐標代入反比例函數(shù)解析式計算即可得出答案；
（2）利用過A作AM⊥x軸，垂足為M，利用射影定理可以算出N點坐標，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，然后聯(lián)立兩個函數(shù)解析式即可算出B點坐標；
（3）根據(jù)題意可以得到△NAO∽△NBP，再根據(jù)三角形的面積比等于三角形高的相似比的平方可以計算出答案．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

t

x

的圖象在第一象限內(nèi)交于A（1，2），
∴t=xy=1×2=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；

（2）過A作AM⊥x軸，垂足為M，
∵A（1，2），由射影定理可得AM²=AM•NM，
∴2²=1×NM，
NM=4，
∴N（5，0），
∵一次函數(shù)y=kx+b圖象經(jīng)過A（1，2）、B（5，0），
∴

k+b=2 5k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴一次函數(shù)y=-

1

2

x+

5

2

，
把反比例函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式聯(lián)立

y= 2 x y=- 1 2 x+ 5 2

，
解得

x=1 y=2

，

x=4 y= 1 2

，
∴B（4，

1

2

）；

（3）過B作BH⊥x軸，
∵B（4，

1

2

），
∴BH=

1

2

，
∵OA⊥AB，BP⊥AB，
∴∠OAB=∠PBN=90°，
∴AO∥PB，
∴△NAO∽△NBP，
∴

S△BPN

S△NAO

=

BH2

AM2

=

1

16

，
∵S_△AON=

1

2

×ON×AM=

1

2

×5×2=5，
∴S_△PBN=

5

16

．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是利用射影定理計算出N點坐標，掌握三角形的面積比等于三角形高的相似比的平方．