Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知二次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)B(0， 4)，與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)D．

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求拋物線的頂點(diǎn)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△BOP的面積等于？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D的坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）；（3）滿足條件的點(diǎn)P有兩個，坐標(biāo)分別為P1(，)、P2()．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式得點(diǎn)D的坐標(biāo)，將解析式化為頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P的坐標(biāo)為P（x，y），到y軸的距離為|x|，則S△BOP=BO|x|，解出x=±，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：(1)把點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(0， 4)代入二次函數(shù)中得：

解得：

所以二次函數(shù)的解析式為： ；

（2）根據(jù)（1）得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0），

=，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）；

(3)存在這樣的點(diǎn)P，設(shè)P的坐標(biāo)為P(x，y)，到y軸的距離為∣x∣

∵ S△BOP＝BO∣x∣

∴＝×4∣x∣

解得：∣x∣＝所以x＝±

把x＝代入中得：

即：y＝，

把x＝－代入中得：

即：y＝－

∴滿足條件的點(diǎn)P有兩個，坐標(biāo)分別為P1(，)、P2()．