Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE是BC邊上的高，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，AB與AG關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)，AE與AF關(guān)于AG對(duì)稱(chēng)．

（1）求證：△AEF是等邊三角形；

（2）若AB=2，求△AFD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）S△ADF=．

【解析】（1）先根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)及BC∥AD證△ADE為直角三角形，由F是AD中點(diǎn)知AF=EF，再結(jié)合AE與AF關(guān)于AG對(duì)稱(chēng)知AE=AF，即可得證；

（2）由△AEF是等邊三角形且AB與AG關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)、AE與AF關(guān)于AG對(duì)稱(chēng)知∠EAG=30°，據(jù)此由AB=2知AE=AF=DF=、AH=，從而得出答案．

（1）∵AB與AG關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)，

∴AE⊥BC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴AE⊥AD，即∠DAE=90°，

∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，即AF是Rt△ADE的中線，

∴AF=EF=DF，

∵AE與AF關(guān)于AG對(duì)稱(chēng)，

∴AE=AF，

則AE=AF=EF，

∴△AEF是等邊三角形；

（2）記AG、EF交點(diǎn)為H，

∵△AEF是等邊三角形，且AE與AF關(guān)于AG對(duì)稱(chēng)，

∴∠EAG=30°，AG⊥EF，

∵AB與AG關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)，

∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°，

∵AB=2，

∴BE=1、DF=AF=AE=，

則EH=AE=、AH=，

∴S△ADF=×．